Algebra Esempi

$5 y^{2} - 4 x^{2} = 20$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

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Passaggio 1.1

Dividi per $20$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{5 y^{2}}{20} - \frac{4 x^{2}}{20} = \frac{20}{20}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 2$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 4.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 + 5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 + 5^{1}}$

Passaggio 4.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{4 + 5}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.3.1

Somma $4$ e $5$ .

$\sqrt{9}$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Passaggio 4.3.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$3$

Passaggio 5

Trova i fuochi.

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Passaggio 5.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, 3)$

Passaggio 5.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 5.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - 3)$

Passaggio 5.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(0, 3), (0, - 3)$

Passaggio 6