Algebra Esempi

$y = 2^{3 x - 1}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 2^{3 y - 1}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $2^{3 y - 1} = x$ .

$2^{3 y - 1} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{3 y - 1}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi $\ln (2^{3 y - 1})$ spostando $3 y - 1$ fuori dal logaritmo.

$(3 y - 1) \ln (2) = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica $(3 y - 1) \ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x)$

Passaggio 2.4.1.2

Riscrivi $- 1 \ln (2)$ come $- \ln (2)$ .

$3 y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x)$

Passaggio 2.5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$3 y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x) = 0$

Passaggio 2.6

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $\ln (2)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y \ln (2) - \ln (x) = \ln (2)$

Passaggio 2.6.2

Somma $\ln (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$

Passaggio 2.7

Dividi per $3 \ln (2)$ ciascun termine in $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Dividi per $3 \ln (2)$ ciascun termine in $3 y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x)$ .

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Passaggio 2.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y \ln (2)}{3 \ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Passaggio 2.7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Passaggio 2.7.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Passaggio 2.7.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Passaggio 2.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\ln (2)}{3 \ln (2)} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Passaggio 2.7.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = 2^{3 x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1}$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{\ln (2^{3 x - 1})}{3 \ln (2)}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Espandi $\ln (2^{3 x - 1})$ spostando $3 x - 1$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{(3 x - 1) \ln (2)}{3 \ln (2)}$

Passaggio 4.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1}{3} + \frac{3 x - 1}{3}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{1 + 3 x - 1}{3}$

Passaggio 4.2.4.2

Combina i termini opposti in $1 + 3 x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x + 0}{3}$

Passaggio 4.2.4.2.2

Somma $3 x$ e $0$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 4.2.4.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 4.2.4.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{3 x - 1} = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) - 1}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1.1

Semplifica $3 \ln (2)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (2^{3})}) - 1}$

Passaggio 4.3.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Passaggio 4.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Passaggio 4.3.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{3 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Passaggio 4.3.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + 3 (\frac{\ln (x)}{\ln (8)}) - 1}$

Passaggio 4.3.3.4

Moltiplica $3 \frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.4.1

$3$ e $\frac{\ln (x)}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{3 \ln (x)}{\ln (8)} - 1}$

Passaggio 4.3.3.4.2

Semplifica $3 \ln (x)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1}$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $1 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Passaggio 4.3.4.2

Somma $0$ e $\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ .

$f (\frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = 2^{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3} + \frac{\ln (x)}{3 \ln (2)}$