Algebra Esempi

y = f (2 x)

$y = f (2 x)$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai

f (2 x)

$f (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

y - f (2 x) = 0

$y - f (2 x) = 0$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

y - 1 \cdot 2 f x = 0

$y - 1 \cdot 2 f x = 0$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

y - 2 f x = 0

$y - 2 f x = 0$

y - 2 f x = 0

$y - 2 f x = 0$

Passaggio 1.1.3

Riordina

y

$y$ e

- 2 f x

$- 2 f x$ .

- 2 f x + y = 0

$- 2 f x + y = 0$

- 2 f x + y = 0

$- 2 f x + y = 0$

Passaggio 1.2

Dividi per

0

$0$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

- \frac{2 f x}{0} + \frac{y}{0} = \frac{0}{0}

$- \frac{2 f x}{0} + \frac{y}{0} = \frac{0}{0}$

Passaggio 1.3

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a

1

$1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia

1

$1$ .

y - f x = 1

$y - f x = 1$

y - f x = 1

$y - f x = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile

h

$h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine,

k

$k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine,

a

$a$ .

a = 1

$a = 1$

b = 1

$b = 1$

k = 0

$k = 0$

h = 0

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di

(h, k)

$(h, k)$ . Sostituisci con i valori di

h

$h$ e

k

$k$ .

(0, 0)

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova

c

$c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula.

\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

\sqrt{1 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

\sqrt{1 + 1}

$\sqrt{1 + 1}$

Passaggio 5.3.3

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando

a

$a$ a

h

$h$ .

(h + a, k)

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

a

$a$ e

k

$k$ nella formula e semplifica.

(1, 0)

$(1, 0)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo

a

$a$ da

h

$h$ .

(h - a, k)

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

a

$a$ e

k

$k$ nella formula e semplifica.

(- 1, 0)

$(- 1, 0)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di

(h \pm a, k)

$(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

(1, 0), (- 1, 0)

$(1, 0), (- 1, 0)$

(1, 0), (- 1, 0)

$(1, 0), (- 1, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando

c

$c$ a

h

$h$ .

(h + c, k)

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

c

$c$ e

k

$k$ nella formula e semplifica.

(\sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo

c

$c$ da

h

$h$ .

(h - c, k)

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

c

$c$ e

k

$k$ nella formula e semplifica.

(- \sqrt{2}, 0)

$(- \sqrt{2}, 0)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di

(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ all'interno della formula.

\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi

\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ per

1

$1$ .

\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Passaggio 8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

\sqrt{1 + {(1)}^{2}}

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Passaggio 8.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

\sqrt{1 + 1}

$\sqrt{1 + 1}$

Passaggio 8.3.4

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di

b

$b$ e

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ per

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ per

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ alla potenza di

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ come

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ come

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

2

$2$ .

\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma

y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

y = \pm 1 \cdot x + 0

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Passaggio 11

Semplifica

1 \cdot x + 0

$1 \cdot x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Somma

1 \cdot x

$1 \cdot x$ e

0

$0$ .

y = 1 \cdot x

$y = 1 \cdot x$

Passaggio 11.2

Moltiplica

x

$x$ per

1

$1$ .

y = x

$y = x$

y = x

$y = x$

Passaggio 12

Semplifica

- 1 \cdot x + 0

$- 1 \cdot x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma

- 1 \cdot x

$- 1 \cdot x$ e

0

$0$ .

y = - 1 \cdot x

$y = - 1 \cdot x$

Passaggio 12.2

Riscrivi

- 1 x

$- 1 x$ come

- x

$- x$ .

y = - x

$y = - x$

y = - x

$y = - x$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

y = x, y = - x

$y = x, y = - x$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro:

(0, 0)

$(0, 0)$

Vertici:

(1, 0), (- 1, 0)

$(1, 0), (- 1, 0)$

Fuochi:

(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Eccentricità:

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$

Asse focale:

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asintoti:

y = x

$y = x$ ,

y = - x

$y = - x$

Passaggio 15