Algebra Esempi

$\frac{(1 + 2 \sqrt{- 3})}{(1 + \sqrt{- 3})}$

Passaggio 1

Estrai l'unità immaginaria $i$ .

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Passaggio 1.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{1 + 2 \sqrt{- 1 (3)}}{1 + \sqrt{- 3}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 2 (\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 3}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 3}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 1 (3)}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}$

Passaggio 1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\frac{1 + 2 (i \cdot \sqrt{3})}{1 + i \cdot \sqrt{3}}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{1 + 2 i \cdot \sqrt{3}}{1 + i \cdot \sqrt{3}}$ per $\frac{1 - i \cdot \sqrt{3}}{1 - i \cdot \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 + 2 i \cdot \sqrt{3}}{1 + i \cdot \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - i \cdot \sqrt{3}}{1 - i \cdot \sqrt{3}}$

Passaggio 3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1 + 2 i \cdot \sqrt{3}}{1 + i \cdot \sqrt{3}}$ per $\frac{1 - i \cdot \sqrt{3}}{1 - i \cdot \sqrt{3}}$ .

$\frac{(1 + 2 i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}{(1 + i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}$

Passaggio 3.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(1 + 2 i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}{1 - (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} - i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

$\frac{(1 + 2 i \cdot \sqrt{3}) (1 - i \cdot \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4

Espandi $(1 + 2 i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (1 - i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1 + 1 (- i \sqrt{3}) + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- i \sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} \cdot 1 + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2 i \sqrt{3} (- i \sqrt{3})$ .

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Passaggio 5.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 5.1.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 (i^{1} i) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 5.1.4.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 5.1.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 5.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 5.1.4.6

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{4}$

Passaggio 5.1.4.7

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{4}$

Passaggio 5.1.4.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Passaggio 5.1.4.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Passaggio 5.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 2 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Passaggio 5.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Passaggio 5.1.7

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 5.1.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 5.1.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 5.1.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 5.1.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 5.1.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3^{1}}{4}$

Passaggio 5.1.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3}{4}$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1 - i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 6}{4}$

Passaggio 5.2

Somma $1$ e $6$ .

$\frac{- i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} + 7}{4}$

Passaggio 5.3

Somma $- i \sqrt{3}$ e $2 i \sqrt{3}$ .

$\frac{1 i \sqrt{3} + 7}{4}$

Passaggio 6

Moltiplica $i$ per $1$ .

$\frac{i \sqrt{3} + 7}{4}$

Passaggio 7

Riordina $i \sqrt{3}$ e $7$ .

$\frac{7 + i \sqrt{3}}{4}$