Algebra Esempi

x = {(y - 2)}^{2}

$x = {(y - 2)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica

{(y - 2)}^{2}

${(y - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi

{(y - 2)}^{2}

${(y - 2)}^{2}$ come

(y - 2) (y - 2)

$(y - 2) (y - 2)$ .

x = (y - 2) (y - 2)

$x = (y - 2) (y - 2)$

Passaggio 1.2

Espandi

(y - 2) (y - 2)

$(y - 2) (y - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

x = y (y - 2) - 2 (y - 2)

$x = y (y - 2) - 2 (y - 2)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica

y

$y$ per

y

$y$ .

x = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta

- 2

$- 2$ alla sinistra di

y

$y$ .

x = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2

$x = y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

- 2

$- 2$ .

x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4

$x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4$

x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4

$x = y^{2} - 2 y - 2 y + 4$

Passaggio 1.3.2

Sottrai

2 y

$2 y$ da

- 2 y

$- 2 y$ .

x = y^{2} - 4 y + 4

$x = y^{2} - 4 y + 4$

x = y^{2} - 4 y + 4

$x = y^{2} - 4 y + 4$

x = y^{2} - 4 y + 4

$x = y^{2} - 4 y + 4$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per

y^{2} - 4 y + 4

$y^{2} - 4 y + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 4

$b = - 4$

c = 4

$c = 4$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di

d

$d$ usando la formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di

- 4

$- 4$ e

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Scomponi

2

$2$ da

- 4

$- 4$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.2.1

Scomponi

2

$2$ da

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2.4

Dividi

$- 2$ per

$1$ .

$d = - 2$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di

$e$ usando la formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di

$c$ ,

$b$ e

$a$ nella formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di

${(- 4)}^{2}$ e

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1.1

Riscrivi

$- 4$ come

$- 1 (4)$ .

$e = 4 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a

$- 1 (4)$ .

$e = 4 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1.3

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$e = 4 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1.4

Moltiplica

$4^{2}$ per

$1$ .

$e = 4 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1.5

Scomponi

$4$ da

$4^{2}$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1.6.1

Scomponi

$4$ da

$4 \cdot 1$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 4 - \frac{4}{1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1.6.4

Dividi

$4$ per

$1$ .

$e = 4 - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$4$ .

$e = 4 - 4$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Sottrai

$4$ da

$4$ .

$e = 0$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di

$a$ ,

$d$ e

$e$ nella forma del vertice di

${(y - 2)}^{2} + 0$ .

${(y - 2)}^{2} + 0$

Passaggio 2.1.2

Imposta

$x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = {(y - 2)}^{2} + 0$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice,

$x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 2$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di

$a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 2.4

Trova il vertice

$(h, k)$ .

$(0, 2)$

Passaggio 2.5

Trova

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di

$a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.3

Elimina il fattore comune di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

$p$ alla coordinata x

$h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{4}, 2)$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 2$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo

$p$ dalla coordinata x

$h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di

$p$ e

$h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice:

$(0, 2)$

Fuoco:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Asse di simmetria:

$y = 2$

Direttrice:

$x = - \frac{1}{4}$

Direzione: si apre a destra

Vertice:

$(0, 2)$

Fuoco:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Asse di simmetria:

$y = 2$

Direttrice:

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di

$x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di

$y$ . I valori di

$x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci il valore

$1$ di

$x$ in

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ . In questo caso, il punto è

$(1, 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = \sqrt{1} + 2$

Passaggio 3.1.2.2

Qualsiasi radice di

$1$ è

$1$ .

$f (1) = 1 + 2$

Passaggio 3.1.2.3

Somma

$1$ e

$2$ .

$f (1) = 3$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è

$3$ .

$y = 3$

Passaggio 3.1.3

Converti

$3$ in decimale.

$= 3$

Passaggio 3.2

Sostituisci il valore

$1$ di

$x$ in

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ . In questo caso, il punto è

$(1, 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = - \sqrt{1} + 2$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Qualsiasi radice di

$1$ è

$1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 2$

Passaggio 3.2.2.2.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$f (1) = - 1 + 2$

Passaggio 3.2.2.3

Somma

$- 1$ e

$2$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 3.2.2.4

La risposta finale è

$1$ .

$y = 1$

Passaggio 3.2.3

Converti

$1$ in decimale.

$= 1$

Passaggio 3.3

Sostituisci il valore

$2$ di

$x$ in

$f (x) = \sqrt{x} + 2$ . In questo caso, il punto è

$(2, 3.41421356)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (2) = \sqrt{2} + 2$

Passaggio 3.3.2.2

La risposta finale è

$\sqrt{2} + 2$ .

$y = \sqrt{2} + 2$

Passaggio 3.3.3

Converti

$\sqrt{2} + 2$ in decimale.

$= 3.41421356$

Passaggio 3.4

Sostituisci il valore

$2$ di

$x$ in

$f (x) = - \sqrt{x} + 2$ . In questo caso, il punto è

$(2, 0.58578643)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (2) = - \sqrt{2} + 2$

Passaggio 3.4.2.2

La risposta finale è

$- \sqrt{2} + 2$ .

$y = - \sqrt{2} + 2$

Passaggio 3.4.3

Converti

$- \sqrt{2} + 2$ in decimale.

$= 0.58578643$

Passaggio 3.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a destra

Vertice:

$(0, 2)$

Fuoco:

$(\frac{1}{4}, 2)$

Asse di simmetria:

$y = 2$

Direttrice:

$x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 1 \\ 2 & 3.41 \\ 2 & 0.59 \end{array}$

Passaggio 5