Algebra Esempi

${(x - y)}^{5}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea $n + 1$ del triangolo. Per ${(x - y)}^{5}$ , $n = 5$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea $6$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $x$ e $b$ $- y$ nell'espressione.

$1 {(x)}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1

Moltiplica ${(x)}^{5}$ per $1$ .

${(x)}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $- y$ .

$x^{5} ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

${(- 1)}^{0} x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$1 x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} y^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.8

Semplifica.

$x^{5} + 5 x^{4} (- y) + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{5} + 5 \cdot - 1 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.10

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 {(x)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.11

Applica la regola del prodotto a $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 \cdot {(- 1)}^{2} x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 \cdot 1 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.14

Moltiplica $10$ per $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.15

Applica la regola del prodotto a $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} ({(- 1)}^{3} y^{3}) + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.16

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 \cdot {(- 1)}^{3} x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.17

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 \cdot - 1 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.18

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.19

Semplifica.

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x {(- y)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.20

Applica la regola del prodotto a $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x ({(- 1)}^{4} y^{4}) + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.21

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 \cdot {(- 1)}^{4} x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.22

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 \cdot 1 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.23

Moltiplica $5$ per $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.24

Moltiplica ${(x)}^{0}$ per $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + {(x)}^{0} {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.25

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + 1 {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.26

Moltiplica ${(- y)}^{5}$ per $1$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + {(- y)}^{5}$

Passaggio 4.27

Applica la regola del prodotto a $- y$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + {(- 1)}^{5} y^{5}$

Passaggio 4.28

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} - y^{5}$