Algebra Esempi

y = 4 x - x^{2}

$y = 4 x - x^{2}$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riordina

4 x

$4 x$ e

- x^{2}

$- x^{2}$ .

y = - x^{2} + 4 x

$y = - x^{2} + 4 x$

Passaggio 1.1.2

Completa il quadrato per

- x^{2} + 4 x

$- x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Utilizza la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = - 1

$a = - 1$

b = 4

$b = 4$

c = 0

$c = 0$

Passaggio 1.1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.2.3

Trova il valore di

d

$d$ usando la formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{4}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di

4

$4$ e

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1.1

Scomponi

2

$2$ da

4

$4$ .

d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.2.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di

\frac{2}{- 1}

$\frac{2}{- 1}$ .

d = - 1 \cdot 2

$d = - 1 \cdot 2$

d = - 1 \cdot 2

$d = - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

d = - 2

$d = - 2$

Passaggio 1.1.2.4

Trova il valore di

e

$e$ usando la formula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Sostituisci i valori di

c

$c$ ,

b

$b$ e

a

$a$ nella formula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di

4^{2}

$4^{2}$ e

4

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1.1.1

Scomponi

4

$4$ da

4^{2}

$4^{2}$ .

e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di

\frac{4}{- 1}

$\frac{4}{- 1}$ .

e = 0 - (- 1 \cdot 4)

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

e = 0 - (- 1 \cdot 4)

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.2

Moltiplica

- (- 1 \cdot 4)

$- (- 1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1.2.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

4

$4$ .

e = 0 - - 4

$e = 0 - - 4$

Passaggio 1.1.2.4.2.1.2.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 4

$- 4$ .

e = 0 + 4

$e = 0 + 4$

e = 0 + 4

$e = 0 + 4$

e = 0 + 4

$e = 0 + 4$

Passaggio 1.1.2.4.2.2

Somma

0

$0$ e

4

$4$ .

$e = 4$

Passaggio 1.1.2.5

Sostituisci i valori di

$a$ ,

$d$ e

$e$ nella forma del vertice di

$- {(x - 2)}^{2} + 4$ .

$- {(x - 2)}^{2} + 4$

Passaggio 1.1.3

Imposta

$y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - {(x - 2)}^{2} + 4$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = - 1$

$h = 2$

$k = 4$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di

$a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.4

Trova il vertice

$(h, k)$ .

$(2, 4)$

Passaggio 1.5

Trova

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di

$a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di

$1$ e

$- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Riscrivi

$1$ come

$- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

$p$ alla coordinata y

$k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(2, \frac{15}{4})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 2$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo

$p$ dalla coordinata y

$k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{17}{4}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice:

$(2, 4)$

Fuoco:

$(2, \frac{15}{4})$

Asse di simmetria:

$x = 2$

Direttrice:

$y = \frac{17}{4}$

Direzione: si apre in basso

Vertice:

$(2, 4)$

Fuoco:

$(2, \frac{15}{4})$

Asse di simmetria:

$x = 2$

Direttrice:

$y = \frac{17}{4}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di

$x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di

$y$ . I valori di

$x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = - {(1)}^{2} + 4 (1)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 4 (1)$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$f (1) = - 1 + 4 (1)$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica

$4$ per

$1$ .

$f (1) = - 1 + 4$

Passaggio 2.2.2

Somma

$- 1$ e

$4$ .

$f (1) = 3$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è

$3$ .

$3$

Passaggio 2.3

Il valore

$y$ con

$x = 1$ è

$3$ .

$y = 3$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0$ nell'espressione.

$f (0) = - {(0)}^{2} + 4 (0)$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$f (0) = - 0 + 4 (0)$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0)$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica

$4$ per

$0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma

$0$ e

$0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è

$0$ .

$0$

Passaggio 2.6

Il valore

$y$ con

$x = 0$ è

$0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3$ nell'espressione.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 4 (3)$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 4 (3)$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$9$ .

$f (3) = - 9 + 4 (3)$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica

$4$ per

$3$ .

$f (3) = - 9 + 12$

Passaggio 2.8.2

Somma

$- 9$ e

$12$ .

$f (3) = 3$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è

$3$ .

$3$

Passaggio 2.9

Il valore

$y$ con

$x = 3$ è

$3$ .

$y = 3$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile

$x$ con

$4$ nell'espressione.

$f (4) = - {(4)}^{2} + 4 (4)$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva

$4$ alla potenza di

$2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 4 (4)$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$16$ .

$f (4) = - 16 + 4 (4)$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica

$4$ per

$4$ .

$f (4) = - 16 + 16$

Passaggio 2.11.2

Somma

$- 16$ e

$16$ .

$f (4) = 0$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è

$0$ .

$0$

Passaggio 2.12

Il valore

$y$ con

$x = 4$ è

$0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice:

$(2, 4)$

Fuoco:

$(2, \frac{15}{4})$

Asse di simmetria:

$x = 2$

Direttrice:

$y = \frac{17}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ 3 & 3 \\ 4 & 0 \end{array}$

Passaggio 4