Algebra Esempi

y = (x - 1) (x - 4)

$y = (x - 1) (x - 4)$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per

(x - 1) (x - 4)

$(x - 1) (x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Espandi

(x - 1) (x - 4)

$(x - 1) (x - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

x (x - 4) - 1 (x - 4)

$x (x - 4) - 1 (x - 4)$

Passaggio 1.1.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 (x - 4)

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 (x - 4)$

Passaggio 1.1.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4$

x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4

$x \cdot x + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.2.1.1

Moltiplica

x

$x$ per

x

$x$ .

x^{2} + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4

$x^{2} + x \cdot - 4 - 1 x - 1 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.2

Sposta

- 4

$- 4$ alla sinistra di

x

$x$ .

x^{2} - 4 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 4

$x^{2} - 4 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.3

Riscrivi

- 1 x

$- 1 x$ come

- x

$- x$ .

x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 4

$x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 4$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 4

$- 4$ .

x^{2} - 4 x - x + 4

$x^{2} - 4 x - x + 4$

x^{2} - 4 x - x + 4

$x^{2} - 4 x - x + 4$

Passaggio 1.1.1.1.2.2

Sottrai

x

$x$ da

- 4 x

$- 4 x$ .

x^{2} - 5 x + 4

$x^{2} - 5 x + 4$

x^{2} - 5 x + 4

$x^{2} - 5 x + 4$

x^{2} - 5 x + 4

$x^{2} - 5 x + 4$

Passaggio 1.1.1.2

Utilizza la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 5

$b = - 5$

c = 4

$c = 4$

Passaggio 1.1.1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di

d

$d$ usando la formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

d = \frac{- 5}{2}

$d = \frac{- 5}{2}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

d = - \frac{5}{2}

$d = - \frac{5}{2}$

Passaggio 1.1.1.5

Trova il valore di

e

$e$ usando la formula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Sostituisci i valori di

c

$c$ ,

b

$b$ e

a

$a$ nella formula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 4 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}

$e = 4 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.1

Eleva

- 5

$- 5$ alla potenza di

2

$2$ .

e = 4 - \frac{25}{4 \cdot 1}

$e = 4 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2

Moltiplica

4

$4$ per

1

$1$ .

e = 4 - \frac{25}{4}

$e = 4 - \frac{25}{4}$

e = 4 - \frac{25}{4}

$e = 4 - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.2

Per scrivere

4

$4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}

$e = 4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.3

4

$4$ e

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

e = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}

$e = \frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

e = \frac{4 \cdot 4 - 25}{4}

$e = \frac{4 \cdot 4 - 25}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.5.1

Moltiplica

4

$4$ per

4

$4$ .

e = \frac{16 - 25}{4}

$e = \frac{16 - 25}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.5.2

Sottrai

25

$25$ da

16

$16$ .

e = \frac{- 9}{4}

$e = \frac{- 9}{4}$

e = \frac{- 9}{4}

$e = \frac{- 9}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

e = - \frac{9}{4}

$e = - \frac{9}{4}$

e = - \frac{9}{4}

$e = - \frac{9}{4}$

e = - \frac{9}{4}

$e = - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.1.1.6

Sostituisci i valori di

a

$a$ ,

d

$d$ e

e

$e$ nella forma del vertice di

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

{(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.1.2

Imposta

y

$y$ uguale al nuovo lato destro.

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}

$y = {(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di

a

$a$ ,

h

$h$ e

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = \frac{5}{2}

$h = \frac{5}{2}$

k = - \frac{9}{4}

$k = - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di

a

$a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice

(h, k)

$(h, k)$ .

(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Passaggio 1.5

Trova

p

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di

a

$a$ nella formula.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

$p$ alla coordinata y

$k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo

$p$ dalla coordinata y

$k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Fuoco:

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Asse di simmetria:

$x = \frac{5}{2}$

Direttrice:

$y = - \frac{5}{2}$

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Fuoco:

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Asse di simmetria:

$x = \frac{5}{2}$

Direttrice:

$y = - \frac{5}{2}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di

$x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di

$y$ . I valori di

$x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = ((1) - 1) ((1) - 4)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai

$1$ da

$1$ .

$f (1) = 0 ((1) - 4)$

Passaggio 2.2.2

Sottrai

$4$ da

$1$ .

$f (1) = 0 \cdot - 3$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica

$0$ per

$- 3$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 2.2.4

La risposta finale è

$0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Il valore

$y$ con

$x = 1$ è

$0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0$ nell'espressione.

$f (0) = ((0) - 1) ((0) - 4)$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sottrai

$1$ da

$0$ .

$f (0) = - 1 ((0) - 4)$

Passaggio 2.5.2

Sottrai

$4$ da

$0$ .

$f (0) = - 1 \cdot - 4$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica

$- 1$ per

$- 4$ .

$f (0) = 4$

Passaggio 2.5.4

La risposta finale è

$4$ .

$4$

Passaggio 2.6

Il valore

$y$ con

$x = 0$ è

$4$ .

$y = 4$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3$ nell'espressione.

$f (3) = ((3) - 1) ((3) - 4)$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sottrai

$1$ da

$3$ .

$f (3) = 2 ((3) - 4)$

Passaggio 2.8.2

Sottrai

$4$ da

$3$ .

$f (3) = 2 \cdot - 1$

Passaggio 2.8.3

Moltiplica

$2$ per

$- 1$ .

$f (3) = - 2$

Passaggio 2.8.4

La risposta finale è

$- 2$ .

$- 2$

Passaggio 2.9

Il valore

$y$ con

$x = 3$ è

$- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile

$x$ con

$4$ nell'espressione.

$f (4) = ((4) - 1) ((4) - 4)$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Sottrai

$1$ da

$4$ .

$f (4) = 3 ((4) - 4)$

Passaggio 2.11.2

Sottrai

$4$ da

$4$ .

$f (4) = 3 \cdot 0$

Passaggio 2.11.3

Moltiplica

$3$ per

$0$ .

$f (4) = 0$

Passaggio 2.11.4

La risposta finale è

$0$ .

$0$

Passaggio 2.12

Il valore

$y$ con

$x = 4$ è

$0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & - \frac{9}{4} \\ 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(\frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$

Fuoco:

$(\frac{5}{2}, - 2)$

Asse di simmetria:

$x = \frac{5}{2}$

Direttrice:

$y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 4 \\ 1 & 0 \\ \frac{5}{2} & - \frac{9}{4} \\ 3 & - 2 \\ 4 & 0 \end{array}$

Passaggio 4