Algebra Esempi

f (x) = 3 x^{2} - 5

$f (x) = 3 x^{2} - 5$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per

3 x^{2} - 5

$3 x^{2} - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 3

$a = 3$

b = 0

$b = 0$

c = - 5

$c = - 5$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di

d

$d$ usando la formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{0}{2 \cdot 3}

$d = \frac{0}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di

0

$0$ e

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Scomponi

2

$2$ da

0

$0$ .

d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 3}

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.1

Scomponi

2

$2$ da

2 \cdot 3

$2 \cdot 3$ .

d = \frac{2 (0)}{2 (3)}

$d = \frac{2 (0)}{2 (3)}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{3}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di

$0$ e

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Scomponi

$3$ da

$0$ .

$d = \frac{3 (0)}{3}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.1

Scomponi

$3$ da

$3$ .

$d = \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.4

Dividi

$0$ per

$1$ .

$d = 0$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di

$e$ usando la formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di

$c$ ,

$b$ e

$a$ nella formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$e = - 5 - \frac{0}{4 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica

$4$ per

$3$ .

$e = - 5 - \frac{0}{12}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Dividi

$0$ per

$12$ .

$e = - 5 - 0$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$e = - 5 + 0$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Somma

$- 5$ e

$0$ .

$e = - 5$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di

$a$ ,

$d$ e

$e$ nella forma del vertice di

$3 {(x + 0)}^{2} - 5$ .

$3 {(x + 0)}^{2} - 5$

Passaggio 1.1.2

Imposta

$y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = 3 {(x + 0)}^{2} - 5$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = 3$

$h = 0$

$k = - 5$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di

$a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice

$(h, k)$ .

$(0, - 5)$

Passaggio 1.5

Trova

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di

$a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica

$4$ per

$3$ .

$\frac{1}{12}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

$p$ alla coordinata y

$k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(0, - \frac{59}{12})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 0$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo

$p$ dalla coordinata y

$k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{61}{12}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(0, - 5)$

Fuoco:

$(0, - \frac{59}{12})$

Asse di simmetria:

$x = 0$

Direttrice:

$y = - \frac{61}{12}$

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(0, - 5)$

Fuoco:

$(0, - \frac{59}{12})$

Asse di simmetria:

$x = 0$

Direttrice:

$y = - \frac{61}{12}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di

$x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di

$y$ . I valori di

$x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 5$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 1) = 3 \cdot 1 - 5$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$f (- 1) = 3 - 5$

Passaggio 2.2.2

Sottrai

$5$ da

$3$ .

$f (- 1) = - 2$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è

$- 2$ .

$- 2$

Passaggio 2.3

Il valore

$y$ con

$x = - 1$ è

$- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 5$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 2) = 3 \cdot 4 - 5$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica

$3$ per

$4$ .

$f (- 2) = 12 - 5$

Passaggio 2.5.2

Sottrai

$5$ da

$12$ .

$f (- 2) = 7$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è

$7$ .

$7$

Passaggio 2.6

Il valore

$y$ con

$x = - 2$ è

$7$ .

$y = 7$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = 3 {(1)}^{2} - 5$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 5$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica

$3$ per

$1$ .

$f (1) = 3 - 5$

Passaggio 2.8.2

Sottrai

$5$ da

$3$ .

$f (1) = - 2$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è

$- 2$ .

$- 2$

Passaggio 2.9

Il valore

$y$ con

$x = 1$ è

$- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f (2) = 3 {(2)}^{2} - 5$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$f (2) = 3 \cdot 4 - 5$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica

$3$ per

$4$ .

$f (2) = 12 - 5$

Passaggio 2.11.2

Sottrai

$5$ da

$12$ .

$f (2) = 7$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è

$7$ .

$7$

Passaggio 2.12

Il valore

$y$ con

$x = 2$ è

$7$ .

$y = 7$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(0, - 5)$

Fuoco:

$(0, - \frac{59}{12})$

Asse di simmetria:

$x = 0$

Direttrice:

$y = - \frac{61}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 7 \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array}$

Passaggio 4