Algebra Esempi

2 x^{2} + 5 x - 3 < 0

$2 x^{2} + 5 x - 3 < 0$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

2 x^{2} + 5 x - 3 = 0

$2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per un polinomio della forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è

a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6

$a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e la cui somma è

b = 5

$b = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi

5

$5$ da

5 x

$5 x$ .

2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0

$2 x^{2} + 5 (x) - 3 = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi

5

$5$ come

- 1

$- 1$ più

6

$6$ .

2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0

$2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3 = 0$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0

$2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3 = 0$

Passaggio 2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0

$(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3 = 0$

Passaggio 2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0

$x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore,

2 x - 1

$2 x - 1$ .

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Passaggio 4

Imposta

2 x - 1

$2 x - 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta

2 x - 1

$2 x - 1$ uguale a

0

$0$ .

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi

2 x - 1 = 0

$2 x - 1 = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Somma

1

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

2 x = 1

$2 x = 1$

Passaggio 4.2.2

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 x = 1

$2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi per

2

$2$ ciascun termine in

2 x = 1

$2 x = 1$ .

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.1.2

Dividi

x

$x$ per

1

$1$ .

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

x = \frac{1}{2}

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Imposta

x + 3

$x + 3$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta

x + 3

$x + 3$ uguale a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai

3

$3$ da entrambi i lati dell'equazione.

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

(2 x - 1) (x + 3) = 0

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$ vera.

x = \frac{1}{2}, - 3

$x = \frac{1}{2}, - 3$

Passaggio 7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Testa un valore sull'intervallo

x < - 3

$x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo

x < - 3

$x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = - 6

$x = - 6$

Passaggio 8.1.2

Sostituisci

x

$x$ con

- 6

$- 6$ nella diseguaglianza originale.

2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6) - 3 < 0

$2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6) - 3 < 0$

Passaggio 8.1.3

Il lato sinistro di

39

$39$ non è minore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.2

Testa un valore sull'intervallo

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = 0

$x = 0$

Passaggio 8.2.2

Sostituisci

x

$x$ con

0

$0$ nella diseguaglianza originale.

2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 3 < 0

$2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 3 < 0$

Passaggio 8.2.3

Il lato sinistro di

- 3

$- 3$ è minore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.3

Testa un valore sull'intervallo

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

x = 3

$x = 3$

Passaggio 8.3.2

Sostituisci

x

$x$ con

3

$3$ nella diseguaglianza originale.

2 {(3)}^{2} + 5 (3) - 3 < 0

$2 {(3)}^{2} + 5 (3) - 3 < 0$

Passaggio 8.3.3

Il lato sinistro di

30

$30$ non è minore del lato destro di

0

$0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

x < - 3

$x < - 3$ Falso

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Vero

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ Falso

x < - 3

$x < - 3$ Falso

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$ Vero

x > \frac{1}{2}

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Passaggio 9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

- 3 < x < \frac{1}{2}

$- 3 < x < \frac{1}{2}$

Notazione degli intervalli:

(- 3, \frac{1}{2})

$(- 3, \frac{1}{2})$

Passaggio 11