Algebra Esempi

$f (x) = \ln (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \ln (x)$ come un'equazione.

$y = \ln (x)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \ln (y)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (y) = x$ .

$\ln (y) = x$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y)} = e^{x}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (y) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y$

Passaggio 3.4

Riscrivi l'equazione come $y = e^{x}$ .

$y = e^{x}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = e^{x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = e^{x}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (x)$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\ln (x))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 5.2.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\ln (x)) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (e^{x})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{x}) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.3.3

Usa le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (e^{x}) = x \ln (e)$

Passaggio 5.3.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (e^{x}) = x \cdot 1$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (e^{x}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = e^{x}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x}$