Algebra Esempi

f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1

$f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per

2 x^{2} - 3 x + 1

$2 x^{2} - 3 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 2

$a = 2$

b = - 3

$b = - 3$

c = 1

$c = 1$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di

d

$d$ usando la formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

d = \frac{- 3}{4}

$d = \frac{- 3}{4}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

d = - \frac{3}{4}

$d = - \frac{3}{4}$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di

e

$e$ usando la formula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di

c

$c$ ,

b

$b$ e

a

$a$ nella formula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 1 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}

$e = 1 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva

- 3

$- 3$ alla potenza di

2

$2$ .

e = 1 - \frac{9}{4 \cdot 2}

$e = 1 - \frac{9}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica

4

$4$ per

2

$2$ .

e = 1 - \frac{9}{8}

$e = 1 - \frac{9}{8}$

e = 1 - \frac{9}{8}

$e = 1 - \frac{9}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Scrivi

1

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

e = \frac{8}{8} - \frac{9}{8}

$e = \frac{8}{8} - \frac{9}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

e = \frac{8 - 9}{8}

$e = \frac{8 - 9}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.4

Sottrai

9

$9$ da

8

$8$ .

e = \frac{- 1}{8}

$e = \frac{- 1}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

e = - \frac{1}{8}

$e = - \frac{1}{8}$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di

a

$a$ ,

d

$d$ e

e

$e$ nella forma del vertice di

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Passaggio 1.1.2

Imposta

y

$y$ uguale al nuovo lato destro.

y = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$y = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

y = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}

$y = 2 {(x - \frac{3}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di

a

$a$ ,

h

$h$ e

k

$k$ .

a = 2

$a = 2$

h = \frac{3}{4}

$h = \frac{3}{4}$

k = - \frac{1}{8}

$k = - \frac{1}{8}$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di

a

$a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice

(h, k)

$(h, k)$ .

(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

Passaggio 1.5

Trova

p

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di

a

$a$ nella formula.

\frac{1}{4 \cdot 2}

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica

4

$4$ per

2

$2$ .

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

p

$p$ alla coordinata y

k

$k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

p

$p$ e

k

$k$ nella formula e semplifica.

(\frac{3}{4}, 0)

$(\frac{3}{4}, 0)$

(\frac{3}{4}, 0)

$(\frac{3}{4}, 0)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

x = \frac{3}{4}

$x = \frac{3}{4}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo

p

$p$ dalla coordinata y

k

$k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

y = k - p

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di

p

$p$ e

k

$k$ nella formula e semplifica.

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

Fuoco:

(\frac{3}{4}, 0)

$(\frac{3}{4}, 0)$

Asse di simmetria:

x = \frac{3}{4}

$x = \frac{3}{4}$

Direttrice:

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

Direzione: si apre in alto

Vertice:

(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

Fuoco:

(\frac{3}{4}, 0)

$(\frac{3}{4}, 0)$

Asse di simmetria:

x = \frac{3}{4}

$x = \frac{3}{4}$

Direttrice:

y = - \frac{1}{4}

$y = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di

x

$x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di

y

$y$ . I valori di

x

$x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

0

$0$ nell'espressione.

f (0) = 2 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 1

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 1$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elevando

0

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

0

$0$ .

f (0) = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1

$f (0) = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

2

$2$ per

0

$0$ .

f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica

- 3

$- 3$ per

0

$0$ .

f (0) = 0 + 0 + 1

$f (0) = 0 + 0 + 1$

f (0) = 0 + 0 + 1

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma

0

$0$ e

0

$0$ .

f (0) = 0 + 1

$f (0) = 0 + 1$

Passaggio 2.2.2.2

Somma

0

$0$ e

1

$1$ .

f (0) = 1

$f (0) = 1$

f (0) = 1

$f (0) = 1$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

Passaggio 2.3

Il valore

y

$y$ con

x = 0

$x = 0$ è

1

$1$ .

y = 1

$y = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

- 1

$- 1$ nell'espressione.

f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 1

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

f (- 1) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 + 1

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica

2

$2$ per

1

$1$ .

f (- 1) = 2 - 3 \cdot - 1 + 1

$f (- 1) = 2 - 3 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica

$- 3$ per

$- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 3 + 1$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma

$2$ e

$3$ .

$f (- 1) = 5 + 1$

Passaggio 2.5.2.2

Somma

$5$ e

$1$ .

$f (- 1) = 6$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è

$6$ .

$6$

Passaggio 2.6

Il valore

$y$ con

$x = - 1$ è

$6$ .

$y = 6$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 1$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Moltiplica

$2$ per

${(2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1.1

Moltiplica

$2$ per

${(2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1.1.1

Eleva

$2$ alla potenza di

$1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 1$

Passaggio 2.8.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (2) = 2^{1 + 2} - 3 \cdot 2 + 1$

Passaggio 2.8.1.1.2

Somma

$1$ e

$2$ .

$f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

Passaggio 2.8.1.2

Eleva

$2$ alla potenza di

$3$ .

$f (2) = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica

$- 3$ per

$2$ .

$f (2) = 8 - 6 + 1$

Passaggio 2.8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Sottrai

$6$ da

$8$ .

$f (2) = 2 + 1$

Passaggio 2.8.2.2

Somma

$2$ e

$1$ .

$f (2) = 3$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è

$3$ .

$3$

Passaggio 2.9

Il valore

$y$ con

$x = 2$ è

$3$ .

$y = 3$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3$ nell'espressione.

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 + 1$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$f (3) = 2 \cdot 9 - 3 \cdot 3 + 1$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica

$2$ per

$9$ .

$f (3) = 18 - 3 \cdot 3 + 1$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica

$- 3$ per

$3$ .

$f (3) = 18 - 9 + 1$

Passaggio 2.11.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Sottrai

$9$ da

$18$ .

$f (3) = 9 + 1$

Passaggio 2.11.2.2

Somma

$9$ e

$1$ .

$f (3) = 10$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è

$10$ .

$10$

Passaggio 2.12

Il valore

$y$ con

$x = 3$ è

$10$ .

$y = 10$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 6 \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \\ 2 & 3 \\ 3 & 10 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(\frac{3}{4}, - \frac{1}{8})$

Fuoco:

$(\frac{3}{4}, 0)$

Asse di simmetria:

$x = \frac{3}{4}$

Direttrice:

$y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & 6 \\ 0 & 1 \\ \frac{3}{4} & - \frac{1}{8} \\ 2 & 3 \\ 3 & 10 \end{array}$

Passaggio 4