Algebra Esempi

y = (x + 2) (x - 3)

$y = (x + 2) (x - 3)$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per

(x + 2) (x - 3)

$(x + 2) (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Espandi

(x + 2) (x - 3)

$(x + 2) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

x (x - 3) + 2 (x - 3)

$x (x - 3) + 2 (x - 3)$

Passaggio 1.1.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 (x - 3)$

Passaggio 1.1.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.2.1.1

Moltiplica

x

$x$ per

x

$x$ .

x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3

$x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x + 2 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.2

Sposta

- 3

$- 3$ alla sinistra di

x

$x$ .

x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3

$x^{2} - 3 \cdot x + 2 x + 2 \cdot - 3$

Passaggio 1.1.1.1.2.1.3

Moltiplica

2

$2$ per

- 3

$- 3$ .

x^{2} - 3 x + 2 x - 6

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

x^{2} - 3 x + 2 x - 6

$x^{2} - 3 x + 2 x - 6$

Passaggio 1.1.1.1.2.2

Somma

- 3 x

$- 3 x$ e

2 x

$2 x$ .

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

x^{2} - x - 6

$x^{2} - x - 6$

Passaggio 1.1.1.2

Utilizza la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 1

$b = - 1$

c = - 6

$c = - 6$

Passaggio 1.1.1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di

d

$d$ usando la formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di

- 1

$- 1$ e

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Riscrivi

- 1

$- 1$ come

- 1 (1)

$- 1 (1)$ .

d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.1.1.5

Trova il valore di

$e$ usando la formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Sostituisci i valori di

$c$ ,

$b$ e

$a$ nella formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 6 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.1.1

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.5.2.1.2

Moltiplica

$4$ per

$1$ .

$e = - 6 - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.2

Per scrivere

$- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{4}{4}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.3

$- 6$ e

$\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 6 \cdot 4 - 1}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.2.5.1

Moltiplica

$- 6$ per

$4$ .

$e = \frac{- 24 - 1}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.5.2

Sottrai

$1$ da

$- 24$ .

$e = \frac{- 25}{4}$

Passaggio 1.1.1.5.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.1.6

Sostituisci i valori di

$a$ ,

$d$ e

$e$ nella forma del vertice di

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.1.2

Imposta

$y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = 1$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{25}{4}$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di

$a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice

$(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Passaggio 1.5

Trova

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di

$a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

$p$ alla coordinata y

$k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo

$p$ dalla coordinata y

$k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{13}{2}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Fuoco:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Asse di simmetria:

$x = \frac{1}{2}$

Direttrice:

$y = - \frac{13}{2}$

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Fuoco:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Asse di simmetria:

$x = \frac{1}{2}$

Direttrice:

$y = - \frac{13}{2}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di

$x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di

$y$ . I valori di

$x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = ((- 1) + 2) ((- 1) - 3)$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Somma

$- 1$ e

$2$ .

$f (- 1) = 1 ((- 1) - 3)$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica

$(- 1) - 3$ per

$1$ .

$f (- 1) = (- 1) - 3$

Passaggio 2.2.3

Sottrai

$3$ da

$- 1$ .

$f (- 1) = - 4$

Passaggio 2.2.4

La risposta finale è

$- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.3

Il valore

$y$ con

$x = - 1$ è

$- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = ((- 2) + 2) ((- 2) - 3)$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Somma

$- 2$ e

$2$ .

$f (- 2) = 0 ((- 2) - 3)$

Passaggio 2.5.2

Sottrai

$3$ da

$- 2$ .

$f (- 2) = 0 \cdot - 5$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica

$0$ per

$- 5$ .

$f (- 2) = 0$

Passaggio 2.5.4

La risposta finale è

$0$ .

$0$

Passaggio 2.6

Il valore

$y$ con

$x = - 2$ è

$0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = ((1) + 2) ((1) - 3)$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma

$1$ e

$2$ .

$f (1) = 3 ((1) - 3)$

Passaggio 2.8.2

Sottrai

$3$ da

$1$ .

$f (1) = 3 \cdot - 2$

Passaggio 2.8.3

Moltiplica

$3$ per

$- 2$ .

$f (1) = - 6$

Passaggio 2.8.4

La risposta finale è

$- 6$ .

$- 6$

Passaggio 2.9

Il valore

$y$ con

$x = 1$ è

$- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f (2) = ((2) + 2) ((2) - 3)$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Somma

$2$ e

$2$ .

$f (2) = 4 ((2) - 3)$

Passaggio 2.11.2

Sottrai

$3$ da

$2$ .

$f (2) = 4 \cdot - 1$

Passaggio 2.11.3

Moltiplica

$4$ per

$- 1$ .

$f (2) = - 4$

Passaggio 2.11.4

La risposta finale è

$- 4$ .

$- 4$

Passaggio 2.12

Il valore

$y$ con

$x = 2$ è

$- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(\frac{1}{2}, - \frac{25}{4})$

Fuoco:

$(\frac{1}{2}, - 6)$

Asse di simmetria:

$x = \frac{1}{2}$

Direttrice:

$y = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - 4 \\ \frac{1}{2} & - \frac{25}{4} \\ 1 & - 6 \\ 2 & - 4 \end{array}$

Passaggio 4