Algebra Esempi

$\log_{x} (\frac{1}{64}) = - 3$

Passaggio 1

Riscrivi $\log_{x} (\frac{1}{64}) = - 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = \frac{1}{64}$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{64}$

Passaggio 2.2

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione. Imposta questa operazione perché sia uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.

$1 \cdot 64 = x^{3} \cdot 1$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 64$ .

$x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 64$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = 1 \cdot 64$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $64$ per $1$ .

$x^{3} = 64$

Passaggio 2.3.4

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 64 = 0$

Passaggio 2.3.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Passaggio 2.3.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.5.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.5.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Passaggio 2.3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Passaggio 2.3.7

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.3.7.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.3.8

Imposta $x^{2} + 4 x + 16$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Imposta $x^{2} + 4 x + 16$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Passaggio 2.3.8.2

Risolvi $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.8.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3.8.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 16$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.8.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.8.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.2.3.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.3.8.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.8.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ vera.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$