Algebra Esempi

$f (x) = x^{3} - 11 x^{2} + 23 x + 35$

Passaggio 1

Scomponi $x^{3} - 11 x^{2} + 23 x + 35$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

Passaggio 1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 11 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 35$

Passaggio 1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 11 {(- 1)}^{2} + 23 \cdot - 1 + 35$

Passaggio 1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 11 \cdot 1 + 23 \cdot - 1 + 35$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 11$ per $1$ .

$- 1 - 11 + 23 \cdot - 1 + 35$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $11$ da $- 1$ .

$- 12 + 23 \cdot - 1 + 35$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $23$ per $- 1$ .

$- 12 - 23 + 35$

Passaggio 1.3.7

Sottrai $23$ da $- 12$ .

$- 35 + 35$

Passaggio 1.3.8

Somma $- 35$ e $35$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 11 x^{2} + 23 x + 35}{x + 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{3} - 11 x^{2} + 23 x + 35$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$23 x$

$35$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$12 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	+	$35$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $35 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	+	$35$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	+	$35$
							+	$35 x$	+	$35$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $35 x + 35$

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	+	$35$
							-	$35 x$	-	$35$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$12 x$	+	$35$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$23 x$	+	$35$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	+	$35$
							-	$35 x$	-	$35$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 12 x + 35$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{3} - 11 x^{2} + 23 x + 35$ come insieme di fattori.

$f (x) = (x + 1) (x^{2} - 12 x + 35)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} - 12 x + 35$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2} - 12 x + 35$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $35$ e la cui somma è $- 12$ .

$- 7, - 5$

Passaggio 2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f (x) = (x + 1) ((x - 7) (x - 5))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$f (x) = (x + 1) (x - 7) (x - 5)$