Algebra Esempi

$y = x^{2} - 4 x - 5$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $x^{2} - 4 x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = - 5$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = - 5 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = - 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1$ .

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = - 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = - 5 - \frac{4}{1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1.6.4

Dividi $4$ per $1$ .

$e = - 5 - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = - 5 - 4$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sottrai $4$ da $- 5$ .

$e = - 9$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x - 2)}^{2} - 9$ .

${(x - 2)}^{2} - 9$

Passaggio 1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = {(x - 2)}^{2} - 9$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = 2$

$k = - 9$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(2, - 9)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2, - \frac{35}{4})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 2$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{37}{4}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(2, - 9)$

Fuoco: $(2, - \frac{35}{4})$

Asse di simmetria: $x = 2$

Direttrice: $y = - \frac{37}{4}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(2, - 9)$

Fuoco: $(2, - \frac{35}{4})$

Asse di simmetria: $x = 2$

Direttrice: $y = - \frac{37}{4}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{2} - 4 \cdot 1 - 5$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 - 5$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 4 - 5$

Passaggio 2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $4$ da $1$ .

$f (1) = - 3 - 5$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $5$ da $- 3$ .

$f (1) = - 8$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $- 8$ .

$- 8$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = 1$ è $- 8$ .

$y = - 8$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 - 5$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 - 5$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$f (0) = - 5$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = 0$ è $- 5$ .

$y = - 5$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 - 5$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (3) = 9 - 4 \cdot 3 - 5$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f (3) = 9 - 12 - 5$

Passaggio 2.8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Sottrai $12$ da $9$ .

$f (3) = - 3 - 5$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $5$ da $- 3$ .

$f (3) = - 8$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $- 8$ .

$- 8$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 3$ è $- 8$ .

$y = - 8$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = {(4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 5$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = 16 - 4 \cdot 4 - 5$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$f (4) = 16 - 16 - 5$

Passaggio 2.11.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Sottrai $16$ da $16$ .

$f (4) = 0 - 5$

Passaggio 2.11.2.2

Sottrai $5$ da $0$ .

$f (4) = - 5$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $- 5$ .

$- 5$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 4$ è $- 5$ .

$y = - 5$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 8 \\ 2 & - 9 \\ 3 & - 8 \\ 4 & - 5 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(2, - 9)$

Fuoco: $(2, - \frac{35}{4})$

Asse di simmetria: $x = 2$

Direttrice: $y = - \frac{37}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 5 \\ 1 & - 8 \\ 2 & - 9 \\ 3 & - 8 \\ 4 & - 5 \end{array}$

Passaggio 4