Algebra Esempi

$\sqrt{16 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \sqrt{16 - x^{2}}$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Passaggio 1.2.2

Imposta $4 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Imposta $4 + x$ uguale a $0$ .

$4 + x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.3

Imposta $4 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Imposta $4 - x$ uguale a $0$ .

$4 - x = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Risolvi $4 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 1.2.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 1.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ vera.

$x = - 4, 4$

Passaggio 1.2.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 1.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 1.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.1.3

Il lato sinistro di $- 20$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 4 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 4 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.2.3

Il lato sinistro di $16$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 1.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.3.3

Il lato sinistro di $- 20$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 1.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 4 \leq x \leq 4$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 4, 4]$

Notazione intensiva:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Notazione degli intervalli:

$[- 4, 4]$

Notazione intensiva:

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

Passaggio 2

Per trovare i punti finali, sostituisci i limiti dei valori $x$ nel dominio in $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 4) = \sqrt{(4 - 4) (4 - (- 4))}$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 - (- 4))}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 (4 + 4)}$

Passaggio 2.2.4

Somma $4$ e $4$ .

$f (- 4) = \sqrt{0 \cdot 8}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $0$ per $8$ .

$f (- 4) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.2.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (- 4) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 4) = 0$

Passaggio 2.2.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Passaggio 2.4

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Rimuovi le parentesi.

$f (4) = \sqrt{(4 + 4) (4 - (4))}$

Passaggio 2.4.2

Somma $4$ e $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 (4 - (4))}$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 (4 - 4)}$

Passaggio 2.4.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (4) = \sqrt{8 \cdot 0}$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f (4) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (4) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (4) = 0$

Passaggio 2.4.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3

I punti finali sono $(- 4, 0), (4, 0)$ .

$(- 4, 0), (4, 0)$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $- 3$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(- 3, \sqrt{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 3) = \sqrt{(4 - 3) (4 - (- 3))}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$f (- 3) = \sqrt{1 (4 - (- 3))}$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4 - (- 3)$ per $1$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 - (- 3)}$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{4 + 3}$

Passaggio 4.1.2.5

Somma $4$ e $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{7}$

Passaggio 4.1.2.6

La risposta finale è $\sqrt{7}$ .

$y = \sqrt{7}$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(- 2, 2 \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 2) = \sqrt{(4 - 2) (4 - (- 2))}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 - (- 2))}$

Passaggio 4.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 (4 + 2)}$

Passaggio 4.2.2.4

Somma $4$ e $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{2 \cdot 6}$

Passaggio 4.2.2.5

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f (- 2) = \sqrt{12}$

Passaggio 4.2.2.6

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.6.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f (- 2) = \sqrt{4 (3)}$

Passaggio 4.2.2.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Passaggio 4.2.2.7

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 2) = 2 \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.2.8

La risposta finale è $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3}$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(- 1, \sqrt{15})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 1) = \sqrt{(4 - 1) (4 - (- 1))}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 - (- 1))}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 (4 + 1)}$

Passaggio 4.3.2.4

Somma $4$ e $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{3 \cdot 5}$

Passaggio 4.3.2.5

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f (- 1) = \sqrt{15}$

Passaggio 4.3.2.6

La risposta finale è $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(0, 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = \sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $4$ e $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 (4 - (0))}$

Passaggio 4.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 (4 + 0)}$

Passaggio 4.4.2.4

Somma $4$ e $0$ .

$f (0) = \sqrt{4 \cdot 4}$

Passaggio 4.4.2.5

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (0) = \sqrt{16}$

Passaggio 4.4.2.6

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{4^{2}}$

Passaggio 4.4.2.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = 4$

Passaggio 4.4.2.8

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 4.5

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(1, \sqrt{15})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = \sqrt{(4 + 1) (4 - (1))}$

Passaggio 4.5.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - (1))}$

Passaggio 4.5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \sqrt{5 (4 - 1)}$

Passaggio 4.5.2.4

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (1) = \sqrt{5 \cdot 3}$

Passaggio 4.5.2.5

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f (1) = \sqrt{15}$

Passaggio 4.5.2.6

La risposta finale è $\sqrt{15}$ .

$y = \sqrt{15}$

Passaggio 4.6

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(2, 2 \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Passaggio 4.6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (2) = \sqrt{(4 + 2) (4 - (2))}$

Passaggio 4.6.2.2

Somma $4$ e $2$ .

$f (2) = \sqrt{6 (4 - (2))}$

Passaggio 4.6.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (2) = \sqrt{6 (4 - 2)}$

Passaggio 4.6.2.4

Sottrai $2$ da $4$ .

$f (2) = \sqrt{6 \cdot 2}$

Passaggio 4.6.2.5

Moltiplica $6$ per $2$ .

$f (2) = \sqrt{12}$

Passaggio 4.6.2.6

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.6.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f (2) = \sqrt{4 (3)}$

Passaggio 4.6.2.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Passaggio 4.6.2.7

Estrai i termini dal radicale.

$f (2) = 2 \sqrt{3}$

Passaggio 4.6.2.8

La risposta finale è $2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3}$

Passaggio 4.7

Sostituisci il valore $3$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(3, \sqrt{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Passaggio 4.7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (3) = \sqrt{(4 + 3) (4 - (3))}$

Passaggio 4.7.2.2

Somma $4$ e $3$ .

$f (3) = \sqrt{7 (4 - (3))}$

Passaggio 4.7.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (3) = \sqrt{7 (4 - 3)}$

Passaggio 4.7.2.4

Sottrai $3$ da $4$ .

$f (3) = \sqrt{7 \cdot 1}$

Passaggio 4.7.2.5

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f (3) = \sqrt{7}$

Passaggio 4.7.2.6

La risposta finale è $\sqrt{7}$ .

$y = \sqrt{7}$

Passaggio 4.8

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(- 4, 0), (4, 0), (- 3, 2.65), (- 2, 3.46), (- 1, 3.87), (0, 4), (1, 3.87), (2, 3.46), (3, 2.65)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & 2.65 \\ - 2 & 3.46 \\ - 1 & 3.87 \\ 0 & 4 \\ 1 & 3.87 \\ 2 & 3.46 \\ 3 & 2.65 \\ 4 & 0 \end{array}$

Passaggio 5