Algebra Esempi

$\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$

Passaggio 1

Riscrivi $\log_{x} (\frac{1}{125}) = - 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = \frac{1}{125}$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = \frac{1}{125}$

Passaggio 2.2

Moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione. Imposta questa operazione perché sia uguale al prodotto del denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.

$1 \cdot 125 = x^{3} \cdot 1$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$ .

$x^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 125$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = 1 \cdot 125$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $125$ per $1$ .

$x^{3} = 125$

Passaggio 2.3.4

Sottrai $125$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 125 = 0$

Passaggio 2.3.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $125$ come $5^{3}$ .

$x^{3} - 5^{3} = 0$

Passaggio 2.3.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.5.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.3.1

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.3.5.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$

Passaggio 2.3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Passaggio 2.3.7

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.7.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.3.7.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.3.8

Imposta $x^{2} + 5 x + 25$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Imposta $x^{2} + 5 x + 25$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 5 x + 25 = 0$

Passaggio 2.3.8.2

Risolvi $x^{2} + 5 x + 25 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.8.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3.8.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 5$ e $c = 25$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.8.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.8.2.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.3

Sottrai $100$ da $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.4

Riscrivi $- 75$ come $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (75)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.7

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 2.3.8.2.3.1.7.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.7.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.1.9

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.8.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.3.8.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) = 0$ vera.

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$