Algebra Esempi

$\sqrt[4]{x^{3}} = 64$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $4$ potenza.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 64^{4}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x^{3}}$ come $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 64^{4}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{3} = 64^{4}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Eleva $64$ alla potenza di $4$ .

$x^{3} = 16777216$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Sottrai $16777216$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 16777216 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $16777216$ come $256^{3}$ .

$x^{3} - 256^{3} = 0$

Passaggio 3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 256$ .

$(x - 256) (x^{2} + x \cdot 256 + 256^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

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Passaggio 3.2.3.1

Sposta $256$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 256^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Eleva $256$ alla potenza di $2$ .

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 256 = 0$

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x - 256$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $x - 256$ uguale a $0$ .

$x - 256 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $256$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 256$

Passaggio 3.5

Imposta $x^{2} + 256 x + 65536$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x^{2} + 256 x + 65536$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $x^{2} + 256 x + 65536 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 256$ e $c = 65536$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 256 \pm \sqrt{256^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 65536)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica.

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Passaggio 3.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.2.3.1.1

Eleva $256$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 1 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 65536$ .

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Passaggio 3.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $65536$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 262144}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.3

Sottrai $262144$ da $65536$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 196608}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 196608$ come $- 1 (196608)$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196608}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (196608)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.7

Riscrivi $196608$ come $256^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 3.5.2.3.1.7.1

Scomponi $65536$ da $196608$ .

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{65536 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.7.2

Riscrivi $65536$ come $256^{2}$ .

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{256^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot (256 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.9

Sposta $256$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 128 \pm 128 i \sqrt{3}$

Passaggio 3.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$ vera.

$x = 256, - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$