Algebra Esempi

$\log_{x} (125) = - 3$

Passaggio 1

Riscrivi $\log_{x} (125) = - 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = 125$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = 125$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{3}, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{3}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x^{3}$ ciascun termine in $\frac{1}{x^{3}} = 125$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x^{3}} = 125$ per $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = 125 x^{3}$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'equazione come $125 x^{3} = 1$ .

$125 x^{3} = 1$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$125 x^{3} - 1 = 0$

Passaggio 2.4.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Riscrivi $125 x^{3}$ come ${(5 x)}^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 1 = 0$

Passaggio 2.4.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Passaggio 2.4.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 5 x$ e $b = 1$ .

$(5 x - 1) ({(5 x)}^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1

Applica la regola del prodotto a $5 x$ .

$(5 x - 1) (5^{2} x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.3.4.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.3.4.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.3.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$

Passaggio 2.4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.5

Imposta $5 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Imposta $5 x - 1$ uguale a $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.5.2

Risolvi $5 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 1$

Passaggio 2.4.5.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 1$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.4.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.4.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Passaggio 2.4.6

Imposta $25 x^{2} + 5 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Imposta $25 x^{2} + 5 x + 1$ uguale a $0$ .

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.6.2

Risolvi $25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 25$ , $b = 5$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 1)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 25 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 100$ per $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.3

Sottrai $100$ da $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 75$ come $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (75)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7

Riscrivi $75$ come $5^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7.1

Scomponi $25$ da $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3.1.9

Sposta $5$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Passaggio 2.4.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

Passaggio 2.4.6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

Passaggio 2.4.6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

Passaggio 2.4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$