Algebra Esempi

$e^{x} + e^{- x} = 8$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 8$

Passaggio 2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$u + u^{- 1} = 8$

Passaggio 3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 8$

Passaggio 4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, u, 1$

Passaggio 4.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 4.2

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $u + \frac{1}{u} = 8$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica ogni termine in $u + \frac{1}{u} = 8$ per $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 8 u$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $u$ per $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 8 u$

Passaggio 4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 8 u$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{2} + 1 = 8 u$

Passaggio 4.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $8 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + 1 - 8 u = 0$

Passaggio 4.3.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 8$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.4.1.3

Sottrai $4$ da $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.4.1.4

Riscrivi $60$ come $2^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.3.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Passaggio 4.3.4.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$u = 4 \pm \sqrt{15}$

Passaggio 4.3.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = 4 + \sqrt{15}, 4 - \sqrt{15}$

Passaggio 5

Sostituisci $4 + \sqrt{15}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$4 + \sqrt{15} = e^{x}$

Passaggio 6

Risolvi $4 + \sqrt{15} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 4 + \sqrt{15}$ .

$e^{x} = 4 + \sqrt{15}$

Passaggio 6.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (4 + \sqrt{15})$

Passaggio 6.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (4 + \sqrt{15})$

Passaggio 6.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4 + \sqrt{15})$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (4 + \sqrt{15})$

Passaggio 7

Sostituisci $4 - \sqrt{15}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$4 - \sqrt{15} = e^{x}$

Passaggio 8

Risolvi $4 - \sqrt{15} = e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 4 - \sqrt{15}$ .

$e^{x} = 4 - \sqrt{15}$

Passaggio 8.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (4 - \sqrt{15})$

Passaggio 8.3

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (4 - \sqrt{15})$

Passaggio 8.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4 - \sqrt{15})$

Passaggio 8.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (4 - \sqrt{15})$

Passaggio 9

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (4 + \sqrt{15}), \ln (4 - \sqrt{15})$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (4 + \sqrt{15}), \ln (4 - \sqrt{15})$

Forma decimale:

$x = 2.06343706 \dots, - 2.06343706 \dots$