Algebra Esempi

$f (x) = 2^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2^{x}$ come un'equazione.

$y = 2^{x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2^{y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2^{y} = x$ .

$2^{y} = x$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (2^{y}) = \ln (x)$

Passaggio 3.3

Espandi $\ln (2^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (2) = \ln (x)$

Passaggio 3.4

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $y \ln (2) = \ln (x)$ e semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Dividi per $\ln (2)$ ciascun termine in $y \ln (2) = \ln (x)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = 2^{x}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} \cdot 2^{x}$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Passaggio 5.2.3

Espandi $\ln (2^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} \cdot 2^{x} = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

Passaggio 5.3.3

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x)}$

Passaggio 5.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = 2^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$