Algebra Esempi

$y = {(x + 3)}^{2} + 1$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la forma di vertice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = 1$

$h = - 3$

$k = 1$

Passaggio 1.2

Poiché il valore di

$a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.3

Trova il vertice

$(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Passaggio 1.4

Trova

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.4.2

Sostituisci il valore di

$a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.5

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

$p$ alla coordinata y

$k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(- 3, \frac{5}{4})$

Passaggio 1.6

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 3$

Passaggio 1.7

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo

$p$ dalla coordinata y

$k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci i valori noti di

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{3}{4}$

Passaggio 1.8

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(- 3, 1)$

Fuoco:

$(- 3, \frac{5}{4})$

Asse di simmetria:

$x = - 3$

Direttrice:

$y = \frac{3}{4}$

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(- 3, 1)$

Fuoco:

$(- 3, \frac{5}{4})$

Asse di simmetria:

$x = - 3$

Direttrice:

$y = \frac{3}{4}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di

$x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di

$y$ . I valori di

$x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 6 (- 4) + 10$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Eleva

$- 4$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 4) = 16 + 6 (- 4) + 10$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

$6$ per

$- 4$ .

$f (- 4) = 16 - 24 + 10$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai

$24$ da

$16$ .

$f (- 4) = - 8 + 10$

Passaggio 2.2.2.2

Somma

$- 8$ e

$10$ .

$f (- 4) = 2$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è

$2$ .

$2$

Passaggio 2.3

Il valore

$y$ con

$x = - 4$ è

$2$ .

$y = 2$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) + 10$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva

$- 5$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 5) = 25 + 6 (- 5) + 10$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica

$6$ per

$- 5$ .

$f (- 5) = 25 - 30 + 10$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai

$30$ da

$25$ .

$f (- 5) = - 5 + 10$

Passaggio 2.5.2.2

Somma

$- 5$ e

$10$ .

$f (- 5) = 5$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è

$5$ .

$5$

Passaggio 2.6

Il valore

$y$ con

$x = - 5$ è

$5$ .

$y = 5$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) + 10$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 2) = 4 + 6 (- 2) + 10$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica

$6$ per

$- 2$ .

$f (- 2) = 4 - 12 + 10$

Passaggio 2.8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Sottrai

$12$ da

$4$ .

$f (- 2) = - 8 + 10$

Passaggio 2.8.2.2

Somma

$- 8$ e

$10$ .

$f (- 2) = 2$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è

$2$ .

$2$

Passaggio 2.9

Il valore

$y$ con

$x = - 2$ è

$2$ .

$y = 2$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) + 10$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 1) = 1 + 6 (- 1) + 10$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica

$6$ per

$- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 6 + 10$

Passaggio 2.11.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Sottrai

$6$ da

$1$ .

$f (- 1) = - 5 + 10$

Passaggio 2.11.2.2

Somma

$- 5$ e

$10$ .

$f (- 1) = 5$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è

$5$ .

$5$

Passaggio 2.12

Il valore

$y$ con

$x = - 1$ è

$5$ .

$y = 5$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 5 \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(- 3, 1)$

Fuoco:

$(- 3, \frac{5}{4})$

Asse di simmetria:

$x = - 3$

Direttrice:

$y = \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 5 \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 2 \\ - 1 & 5 \end{array}$

Passaggio 4