Algebra Esempi

$\log_{5} (x) + \log_{5} (4 x - 1) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x (4 x - 1)) = 1$

Passaggio 1.2

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{5} (x (4 x) + x \cdot - 1) = 1$

Passaggio 1.2.2

Riordina.

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Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\log_{5} (4 x \cdot x + x \cdot - 1) = 1$

Passaggio 1.2.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{5} (4 x \cdot x - 1 \cdot x) = 1$

Passaggio 1.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta $x$ .

$\log_{5} (4 (x \cdot x) - 1 \cdot x) = 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{5} (4 x^{2} - 1 \cdot x) = 1$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\log_{5} (4 x^{2} - x) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{5} (4 x^{2} - x) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = 4 x^{2} - x$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $4 x^{2} - x = 5^{1}$ .

$4 x^{2} - x = 5$

Passaggio 3.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - x - 5 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$4 x^{2} - (x) - 5 = 0$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi $- 1$ come $4$ più $- 5$ .

$4 x^{2} + (4 - 5) x - 5 = 0$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 4 x - 5 x - 5 = 0$

Passaggio 3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 x^{2} + 4 x) - 5 x - 5 = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$4 x (x + 1) - 5 (x + 1) = 0$

Passaggio 3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 1$ .

$(x + 1) (4 x - 5) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.6

Imposta $4 x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $4 x - 5$ uguale a $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $4 x - 5 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.6.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 5$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 5$ e semplifica.

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Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 5$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (4 x - 5) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{5}{4}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{5} (x) + \log_{5} (4 x - 1) = 1$ vera.

$x = \frac{5}{4}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{5}{4}$

Forma decimale:

$x = 1.25$

Forma numero misto:

$x = 1 \frac{1}{4}$