Algebra Esempi

$f (x) = 2 x^{2} - x - 1$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $2 x^{2} - x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = - 1$

$c = - 1$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$d = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = - 1 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$e = - 1 - \frac{1}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$e = - 1 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.3

$- 1$ e $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{- 1 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 1 \cdot 8 - 1}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$e = \frac{- 8 - 1}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.5.2

Sottrai $1$ da $- 8$ .

$e = \frac{- 9}{8}$

Passaggio 1.1.1.4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{9}{8}$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$ .

$2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$

Passaggio 1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = 2 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{9}{8}$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 2$

$h = \frac{1}{4}$

$k = - \frac{9}{8}$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{8}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{1}{4}, - 1)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{5}{4}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

Fuoco: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Asse di simmetria: $x = \frac{1}{4}$

Direttrice: $y = - \frac{5}{4}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

Fuoco: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Asse di simmetria: $x = \frac{1}{4}$

Direttrice: $y = - \frac{5}{4}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - (- 1) - 1$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 1) = 2 - (- 1) - 1$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 1 - 1$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 2.2.2.1

Somma $2$ e $1$ .

$f (- 1) = 3 - 1$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (- 1) = 2$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{2} - (- 2) - 1$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 4 - (- 2) - 1$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- 2) = 8 - (- 2) - 1$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 8 + 2 - 1$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $8$ e $2$ .

$f (- 2) = 10 - 1$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $1$ da $10$ .

$f (- 2) = 9$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $9$ .

$9$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $9$ .

$y = 9$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - (1) - 1$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.8.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 2 \cdot 1 - (1) - 1$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = 2 - (1) - 1$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = 2 - 1 - 1$

Passaggio 2.8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (1) = 1 - 1$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) - 1$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - (2) - 1$

Passaggio 2.11.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (2) = 2^{1 + 2} - (2) - 1$

Passaggio 2.11.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (2) = 2^{3} - (2) - 1$

Passaggio 2.11.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = 8 - (2) - 1$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (2) = 8 - 2 - 1$

Passaggio 2.11.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Sottrai $2$ da $8$ .

$f (2) = 6 - 1$

Passaggio 2.11.2.2

Sottrai $1$ da $6$ .

$f (2) = 5$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $5$ .

$5$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 9 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{4} & - \frac{9}{8} \\ 1 & 0 \\ 2 & 5 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{1}{4}, - \frac{9}{8})$

Fuoco: $(\frac{1}{4}, - 1)$

Asse di simmetria: $x = \frac{1}{4}$

Direttrice: $y = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 9 \\ - 1 & 2 \\ \frac{1}{4} & - \frac{9}{8} \\ 1 & 0 \\ 2 & 5 \end{array}$

Passaggio 4