Algebra Esempi

$\sqrt{4 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(2 + x) (2 - x) \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Passaggio 1.2.2

Imposta $2 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Imposta $2 + x$ uguale a $0$ .

$2 + x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.3

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Risolvi $2 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 1.2.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 1.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 + x) (2 - x) \geq 0$ vera.

$x = - 2, 2$

Passaggio 1.2.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 1.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$(2 - 4) (2 - (- 4)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.1.3

Il lato sinistro di $- 12$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(2 + 0) (2 - (0)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.2.3

Il lato sinistro di $4$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 1.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$(2 + 4) (2 - (4)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.3.3

Il lato sinistro di $- 12$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

Passaggio 1.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 2 \leq x \leq 2$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 2, 2]$

Notazione intensiva:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Notazione degli intervalli:

$[- 2, 2]$

Notazione intensiva:

${x | - 2 \leq x \leq 2}$

Passaggio 2

Per trovare i punti finali, sostituisci i limiti dei valori $x$ nel dominio in $f (x) = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \sqrt{(2 - 2) (2 - (- 2))}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 2) = \sqrt{(2 - 2) (2 - (- 2))}$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{0 (2 - (- 2))}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{0 (2 + 2)}$

Passaggio 2.2.4

Somma $2$ e $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{0 \cdot 4}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $0$ per $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.2.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \sqrt{(2 + 2) (2 - (2))}$

Passaggio 2.4

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Rimuovi le parentesi.

$f (2) = \sqrt{(2 + 2) (2 - (2))}$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ e $2$ .

$f (2) = \sqrt{4 (2 - (2))}$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (2) = \sqrt{4 (2 - 2)}$

Passaggio 2.4.4

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (2) = \sqrt{4 \cdot 0}$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (2) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (2) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (2) = 0$

Passaggio 2.4.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3

I punti finali sono $(- 2, 0), (2, 0)$ .

$(- 2, 0), (2, 0)$

Passaggio 4

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(- 2, 0), (2, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{array}$

Passaggio 5