Algebra Esempi

f (x) = x^{2} - 2 x - 8

$f (x) = x^{2} - 2 x - 8$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per

x^{2} - 2 x - 8

$x^{2} - 2 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = - 2

$b = - 2$

c = - 8

$c = - 8$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di

d

$d$ usando la formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di

- 2

$- 2$ e

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Scomponi

2

$2$ da

- 2

$- 2$ .

d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Scomponi

2

$2$ da

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.4

Dividi

$- 1$ per

$1$ .

$d = - 1$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di

$e$ usando la formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di

$c$ ,

$b$ e

$a$ nella formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 8 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva

$- 2$ alla potenza di

$2$ .

$e = - 8 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica

$4$ per

$1$ .

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e = - 8 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$e = - 8 - 1$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sottrai

$1$ da

$- 8$ .

$e = - 9$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di

$a$ ,

$d$ e

$e$ nella forma del vertice di

${(x - 1)}^{2} - 9$ .

${(x - 1)}^{2} - 9$

Passaggio 1.1.2

Imposta

$y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = {(x - 1)}^{2} - 9$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = 1$

$h = 1$

$k = - 9$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di

$a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice

$(h, k)$ .

$(1, - 9)$

Passaggio 1.5

Trova

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di

$a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

$p$ alla coordinata y

$k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(1, - \frac{35}{4})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 1$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo

$p$ dalla coordinata y

$k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{37}{4}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(1, - 9)$

Fuoco:

$(1, - \frac{35}{4})$

Asse di simmetria:

$x = 1$

Direttrice:

$y = - \frac{37}{4}$

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(1, - 9)$

Fuoco:

$(1, - \frac{35}{4})$

Asse di simmetria:

$x = 1$

Direttrice:

$y = - \frac{37}{4}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di

$x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di

$y$ . I valori di

$x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 8$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 8$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

$- 2$ per

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma

$0$ e

$0$ .

$f (0) = 0 - 8$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai

$8$ da

$0$ .

$f (0) = - 8$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è

$- 8$ .

$- 8$

Passaggio 2.3

Il valore

$y$ con

$x = 0$ è

$- 8$ .

$y = - 8$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 8$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot - 1 - 8$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica

$- 2$ per

$- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 - 8$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma

$1$ e

$2$ .

$f (- 1) = 3 - 8$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai

$8$ da

$3$ .

$f (- 1) = - 5$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è

$- 5$ .

$- 5$

Passaggio 2.6

Il valore

$y$ con

$x = - 1$ è

$- 5$ .

$y = - 5$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f (2) = {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 8$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$f (2) = 4 - 2 \cdot 2 - 8$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica

$- 2$ per

$2$ .

$f (2) = 4 - 4 - 8$

Passaggio 2.8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Sottrai

$4$ da

$4$ .

$f (2) = 0 - 8$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai

$8$ da

$0$ .

$f (2) = - 8$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è

$- 8$ .

$- 8$

Passaggio 2.9

Il valore

$y$ con

$x = 2$ è

$- 8$ .

$y = - 8$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile

$x$ con

$3$ nell'espressione.

$f (3) = {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 8$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$f (3) = 9 - 2 \cdot 3 - 8$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica

$- 2$ per

$3$ .

$f (3) = 9 - 6 - 8$

Passaggio 2.11.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Sottrai

$6$ da

$9$ .

$f (3) = 3 - 8$

Passaggio 2.11.2.2

Sottrai

$8$ da

$3$ .

$f (3) = - 5$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è

$- 5$ .

$- 5$

Passaggio 2.12

Il valore

$y$ con

$x = 3$ è

$- 5$ .

$y = - 5$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 8 \\ 1 & - 9 \\ 2 & - 8 \\ 3 & - 5 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(1, - 9)$

Fuoco:

$(1, - \frac{35}{4})$

Asse di simmetria:

$x = 1$

Direttrice:

$y = - \frac{37}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 5 \\ 0 & - 8 \\ 1 & - 9 \\ 2 & - 8 \\ 3 & - 5 \end{array}$

Passaggio 4