Algebra Esempi

$\sqrt{4 y + 5} - \sqrt{y - 1} = 3$

Passaggio 1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{4 y + 5} - \sqrt{y - 1} - 3 = 0$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini non contenenti $\sqrt{4 y + 5}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Somma $\sqrt{y - 1}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{4 y + 5} - 3 = \sqrt{y - 1}$

Passaggio 2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{4 y + 5} = \sqrt{y - 1} + 3$

Passaggio 3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{4 y + 5}}^{2} = {(\sqrt{y - 1} + 3)}^{2}$

Passaggio 4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 y + 5}$ come ${(4 y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 1} + 3)}^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ${({(4 y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 1} + 3)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(4 y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 1} + 3)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(4 y + 5)}^{1} = {(\sqrt{y - 1} + 3)}^{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica.

$4 y + 5 = {(\sqrt{y - 1} + 3)}^{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ${(\sqrt{y - 1} + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi ${(\sqrt{y - 1} + 3)}^{2}$ come $(\sqrt{y - 1} + 3) (\sqrt{y - 1} + 3)$ .

$4 y + 5 = (\sqrt{y - 1} + 3) (\sqrt{y - 1} + 3)$

Passaggio 4.3.1.2

Espandi $(\sqrt{y - 1} + 3) (\sqrt{y - 1} + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 5 = \sqrt{y - 1} (\sqrt{y - 1} + 3) + 3 (\sqrt{y - 1} + 3)$

Passaggio 4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 5 = \sqrt{y - 1} \sqrt{y - 1} + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 (\sqrt{y - 1} + 3)$

Passaggio 4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + 5 = \sqrt{y - 1} \sqrt{y - 1} + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1.1

Moltiplica $\sqrt{y - 1} \sqrt{y - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1.1.1

Eleva $\sqrt{y - 1}$ alla potenza di $1$ .

$4 y + 5 = {\sqrt{y - 1}}^{1} \sqrt{y - 1} + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{y - 1}$ alla potenza di $1$ .

$4 y + 5 = {\sqrt{y - 1}}^{1} {\sqrt{y - 1}}^{1} + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 y + 5 = {\sqrt{y - 1}}^{1 + 1} + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$4 y + 5 = {\sqrt{y - 1}}^{2} + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{y - 1}}^{2}$ come $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y - 1}$ come ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y + 5 = {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + 5 = {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 y + 5 = {(y - 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$4 y + 5 = {(y - 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y + 5 = {(y - 1)}^{1} + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3.1.2.5

Semplifica.

$4 y + 5 = y - 1 + \sqrt{y - 1} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{y - 1}$ .

$4 y + 5 = y - 1 + 3 \cdot \sqrt{y - 1} + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \cdot 3$

Passaggio 4.3.1.3.1.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$4 y + 5 = y - 1 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \sqrt{y - 1} + 9$

Passaggio 4.3.1.3.2

Somma $- 1$ e $9$ .

$4 y + 5 = y + 8 + 3 \sqrt{y - 1} + 3 \sqrt{y - 1}$

Passaggio 4.3.1.3.3

Somma $3 \sqrt{y - 1}$ e $3 \sqrt{y - 1}$ .

$4 y + 5 = y + 8 + 6 \sqrt{y - 1}$

Passaggio 5

Risolvi per $6 \sqrt{y - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $y + 8 + 6 \sqrt{y - 1} = 4 y + 5$ .

$y + 8 + 6 \sqrt{y - 1} = 4 y + 5$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $6 \sqrt{y - 1}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 + 6 \sqrt{y - 1} = 4 y + 5 - y$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 \sqrt{y - 1} = 4 y + 5 - y - 8$

Passaggio 5.2.3

Sottrai $y$ da $4 y$ .

$6 \sqrt{y - 1} = 3 y + 5 - 8$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $8$ da $5$ .

$6 \sqrt{y - 1} = 3 y - 3$

Passaggio 6

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(6 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Passaggio 7

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y - 1}$ come ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ${(6 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $6 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$36 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$36 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$36 {(y - 1)}^{1} = {(3 y - 3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Semplifica.

$36 (y - 1) = {(3 y - 3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$36 y + 36 \cdot - 1 = {(3 y - 3)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $36$ per $- 1$ .

$36 y - 36 = {(3 y - 3)}^{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ${(3 y - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Riscrivi ${(3 y - 3)}^{2}$ come $(3 y - 3) (3 y - 3)$ .

$36 y - 36 = (3 y - 3) (3 y - 3)$

Passaggio 7.3.1.2

Espandi $(3 y - 3) (3 y - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$36 y - 36 = 3 y (3 y - 3) - 3 (3 y - 3)$

Passaggio 7.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$36 y - 36 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y - 3)$

Passaggio 7.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$36 y - 36 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 7.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$36 y - 36 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 7.3.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$36 y - 36 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 7.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$36 y - 36 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 7.3.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$36 y - 36 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 3 - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 7.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$36 y - 36 = 9 y^{2} - 9 y - 3 (3 y) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 7.3.1.3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$36 y - 36 = 9 y^{2} - 9 y - 9 y - 3 \cdot - 3$

Passaggio 7.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$36 y - 36 = 9 y^{2} - 9 y - 9 y + 9$

Passaggio 7.3.1.3.2

Sottrai $9 y$ da $- 9 y$ .

$36 y - 36 = 9 y^{2} - 18 y + 9$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$9 y^{2} - 18 y + 9 = 36 y - 36$

Passaggio 8.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sottrai $36 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} - 18 y + 9 - 36 y = - 36$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $36 y$ da $- 18 y$ .

$9 y^{2} - 54 y + 9 = - 36$

Passaggio 8.3

Somma $36$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} - 54 y + 9 + 36 = 0$

Passaggio 8.4

Somma $9$ e $36$ .

$9 y^{2} - 54 y + 45 = 0$

Passaggio 8.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Scomponi $9$ da $9 y^{2} - 54 y + 45$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1.1

Scomponi $9$ da $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 54 y + 45 = 0$

Passaggio 8.5.1.2

Scomponi $9$ da $- 54 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 6 y) + 45 = 0$

Passaggio 8.5.1.3

Scomponi $9$ da $45$ .

$9 y^{2} + 9 (- 6 y) + 9 \cdot 5 = 0$

Passaggio 8.5.1.4

Scomponi $9$ da $9 y^{2} + 9 (- 6 y)$ .

$9 (y^{2} - 6 y) + 9 \cdot 5 = 0$

Passaggio 8.5.1.5

Scomponi $9$ da $9 (y^{2} - 6 y) + 9 \cdot 5$ .

$9 (y^{2} - 6 y + 5) = 0$

Passaggio 8.5.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Scomponi $y^{2} - 6 y + 5$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 5, - 1$

Passaggio 8.5.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$9 ((y - 5) (y - 1)) = 0$

Passaggio 8.5.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$9 (y - 5) (y - 1) = 0$

Passaggio 8.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y - 5 = 0$

$y - 1 = 0$

Passaggio 8.7

Imposta $y - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Imposta $y - 5$ uguale a $0$ .

$y - 5 = 0$

Passaggio 8.7.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 5$

Passaggio 8.8

Imposta $y - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.8.1

Imposta $y - 1$ uguale a $0$ .

$y - 1 = 0$

Passaggio 8.8.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 1$

Passaggio 8.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $9 (y - 5) (y - 1) = 0$ vera.

$y = 5, 1$