Algebra Esempi

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Passaggio 1

$\frac{1}{2}$ e

$x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2}$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per

$\frac{x^{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma

$a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di

$a$ ,

$b$ e

$c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 0$

$c = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di

$d$ usando la formula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di

$a$ e

$b$ nella formula

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di

$0$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Scomponi

$2$ da

$0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 0 \cdot 2$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

Moltiplica

$0$ per

$2$ .

$d = 0$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di

$e$ usando la formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di

$c$ ,

$b$ e

$a$ nella formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

$4$ e

$\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Dividi

$4$ per

$2$ .

$e = 0 - \frac{0}{2}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Dividi

$0$ per

$2$ .

$e = 0 - 0$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$e = 0 + 0$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Somma

$0$ e

$0$ .

$e = 0$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di

$a$ ,

$d$ e

$e$ nella forma del vertice di

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}$

Passaggio 2.1.2

Imposta

$y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di

$a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 2.4

Trova il vertice

$(h, k)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 2.5

Trova

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di

$a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

$4$ e

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 2.5.3.2

Dividi

$4$ per

$2$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

$p$ alla coordinata y

$k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(0, \frac{1}{2})$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 0$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo

$p$ dalla coordinata y

$k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(0, 0)$

Fuoco:

$(0, \frac{1}{2})$

Asse di simmetria:

$x = 0$

Direttrice:

$y = - \frac{1}{2}$

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(0, 0)$

Fuoco:

$(0, \frac{1}{2})$

Asse di simmetria:

$x = 0$

Direttrice:

$y = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di

$x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di

$y$ . I valori di

$x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di

${(- 2)}^{2}$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi

$- 2$ come

$- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 1 \cdot 2)}^{2}}{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Applica la regola del prodotto a

$- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{2}$

Passaggio 3.2.1.3

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 2) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{2}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica

$2^{2}$ per

$1$ .

$f (- 2) = \frac{2^{2}}{2}$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi

$2$ da

$2^{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Passaggio 3.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 2) = \frac{2}{1}$

Passaggio 3.2.1.6.4

Dividi

$2$ per

$1$ .

$f (- 2) = 2$

Passaggio 3.2.2

La risposta finale è

$2$ .

$2$

Passaggio 3.3

Il valore

$y$ con

$x = - 2$ è

$2$ .

$y = 2$

Passaggio 3.4

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2}$

Passaggio 3.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2

La risposta finale è

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 3.6

Il valore

$y$ con

$x = - 1$ è

$\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.7

Sostituisci la variabile

$x$ con

$2$ nell'espressione.

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2}$

Passaggio 3.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Elimina il fattore comune di

${(2)}^{2}$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Scomponi

$2$ da

${(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.8.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Passaggio 3.8.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = \frac{2}{1}$

Passaggio 3.8.1.2.4

Dividi

$2$ per

$1$ .

$f (2) = 2$

Passaggio 3.8.2

La risposta finale è

$2$ .

$2$

Passaggio 3.9

Il valore

$y$ con

$x = 2$ è

$2$ .

$y = 2$

Passaggio 3.10

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2}$

Passaggio 3.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.11.2

La risposta finale è

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 3.12

Il valore

$y$ con

$x = 1$ è

$\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 2 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(0, 0)$

Fuoco:

$(0, \frac{1}{2})$

Asse di simmetria:

$x = 0$

Direttrice:

$y = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 2 \end{array}$

Passaggio 5