Algebra Esempi

$3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i termini.

$6 x - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $2$ da $6 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $2$ da $6 x$ .

$2 (3 x) - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (3 x) + 2 (- 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $2$ da $2 (3 x) + 2 (- 1)$ .

$2 (3 x - 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $3 x^{4}$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Passaggio 1.3.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 4 x^{3}$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} = 0$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica per $1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Passaggio 1.3.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi.

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Passaggio 1.4.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 1.4.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e la cui somma è $b = - 4$ .

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Passaggio 1.4.1.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 x$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Passaggio 1.4.1.1.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1$ più $- 3$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Passaggio 1.4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Passaggio 1.4.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.4.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Passaggio 1.4.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Passaggio 1.4.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.5

Scomponi $3 x - 1$ da $2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ .

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Passaggio 1.5.1

Scomponi $3 x - 1$ da $2 (3 x - 1)$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $3 x - 1$ da $x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.5.3

Scomponi $3 x - 1$ da $(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1))$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{2} (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.6

Applica la proprietà distributiva.

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Passaggio 1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 1.7.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(3 x - 1) (2 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Passaggio 1.7.2

Somma $2$ e $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Passaggio 1.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - 1 x^{2}) = 0$

Passaggio 1.9

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - x^{2}) = 0$

Passaggio 1.10

Riordina i termini.

$(3 x - 1) (x^{3} - x^{2} + 2) = 0$

Passaggio 1.11

Scomponi.

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Passaggio 1.11.1

Scomponi $x^{3} - x^{2} + 2$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.11.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.11.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.11.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.11.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 2$

Passaggio 1.11.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - {(- 1)}^{2} + 2$

Passaggio 1.11.1.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 1 \cdot 1 + 2$

Passaggio 1.11.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 - 1 + 2$

Passaggio 1.11.1.3.5

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 1.11.1.3.6

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 1.11.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 2}{x + 1}$

Passaggio 1.11.1.5

Dividi $x^{3} - x^{2} + 2$ per $x + 1$ .

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Passaggio 1.11.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Passaggio 1.11.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Passaggio 1.11.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.11.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.11.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.11.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 1.11.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 1.11.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 1.11.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 1.11.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

Passaggio 1.11.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Passaggio 1.11.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Passaggio 1.11.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Passaggio 1.11.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x + 2$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Passaggio 1.11.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Passaggio 1.11.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x + 2$

Passaggio 1.11.1.6

Scrivi $x^{3} - x^{2} + 2$ come insieme di fattori.

$(3 x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)) = 0$

Passaggio 1.11.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Passaggio 3

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5

Imposta $x^{2} - 2 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x^{2} - 2 x + 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 2$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + i, 1 - i$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, - 1, 1 + i, 1 - i$

Passaggio 7