Algebra Esempi

$f (x) = - x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$

Passaggio 1

Imposta $- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20$ uguale a $0$ .

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$- x^{4} + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- x^{3}$ da $- x^{4} + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $- x^{3}$ da $- x^{4}$ .

$- x^{3} x + x^{3} + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $- x^{3}$ da $x^{3}$ .

$- x^{3} x - x^{3} \cdot - 1 + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- x^{3}$ da $- x^{3} (x) - x^{3} \cdot - 1$ .

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 21 \cdot 20 = 420$ e la cui somma è $b = - 41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Scomponi $- 41$ da $- 41 x$ .

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 41 x + 20 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2

Riscrivi $- 41$ come $- 20$ più $- 21$ .

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} + (- 20 - 21) x + 20 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- x^{3} (x - 1) + 21 x^{2} - 20 x - 21 x + 20 = 0$

Passaggio 2.1.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- x^{3} (x - 1) + x (21 x - 20) - (21 x - 20) = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $21 x - 20$ .

$- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $x - 1$ da $- x^{3} (x - 1) + (21 x - 20) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $x - 1$ da $- x^{3} (x - 1)$ .

$(x - 1) (- x^{3}) + (21 x - 20) (x - 1) = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Scomponi $x - 1$ da $(21 x - 20) (x - 1)$ .

$(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20) = 0$

Passaggio 2.1.4.3

Scomponi $x - 1$ da $(x - 1) (- x^{3}) + (x - 1) (21 x - 20)$ .

$(x - 1) (- x^{3} + 21 x - 20) = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Riscrivi $- x^{3} + 21 x - 20$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Scomponi $- x^{3} + 21 x - 20$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.5.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Passaggio 2.1.5.1.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$- 1^{3} + 21 \cdot 1 - 20$

Passaggio 2.1.5.1.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 21 \cdot 1 - 20$

Passaggio 2.1.5.1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1 + 21 \cdot 1 - 20$

Passaggio 2.1.5.1.1.3.4

Moltiplica $21$ per $1$ .

$- 1 + 21 - 20$

Passaggio 2.1.5.1.1.3.5

Somma $- 1$ e $21$ .

$20 - 20$

Passaggio 2.1.5.1.1.3.6

Sottrai $20$ da $20$ .

$0$

Passaggio 2.1.5.1.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- x^{3} + 21 x - 20}{x - 1}$

Passaggio 2.1.5.1.1.5

Dividi $- x^{3} + 21 x - 20$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $20 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $20 x - 20$

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$21 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$
										$0$

Passaggio 2.1.5.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- x^{2} - x + 20$

Passaggio 2.1.5.1.1.6

Scrivi $- x^{3} + 21 x - 20$ come insieme di fattori.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - x + 20)) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} - (x) + 20)) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come $4$ più $- 5$ .

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + (4 - 5) x + 20)) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 1) ((x - 1) (- x^{2} + 4 x - 5 x + 20)) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) ((x - 1) ((- x^{2} + 4 x) - 5 x + 20)) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) ((x - 1) (x (- x + 4) + 5 (- x + 4))) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 4$ .

$(x - 1) ((x - 1) ((- x + 4) (x + 5))) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) ((x - 1) (- x + 4) (x + 5)) = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 2.1.6

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$(x - 1) (x - 1) (- x + 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 2.1.6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x - 1)}^{1 + 1} (- x + 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 2.1.6.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$- x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi ${(x - 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.4

Imposta $- x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $- x + 4$ uguale a $0$ .

$- x + 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $- x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x - 1)}^{2} (- x + 4) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 1, 4, - 5$

Passaggio 3