Algebra Esempi

$f (x) = x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2$ uguale a $0$ .

$x^{4} + x^{3} - x^{2} + x - 2 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$x^{4} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} + x^{3} + x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + x^{3} + x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + x^{3} + x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + x^{3} + x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + x^{3} + x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $x^{3} + x - 2$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.5.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 2.1.5.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} + 1 - 2$

Passaggio 2.1.5.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 + 1 - 2$

Passaggio 2.1.5.3.3

Somma $1$ e $1$ .

$2 - 2$

Passaggio 2.1.5.3.4

Sottrai $2$ da $2$ .

$0$

Passaggio 2.1.5.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

Passaggio 2.1.5.5

Dividi $x^{3} + x - 2$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Passaggio 2.1.5.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 2.1.5.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.1.5.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.1.5.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 2.1.5.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 2.1.5.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Passaggio 2.1.5.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Passaggio 2.1.5.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x - 2$

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 2.1.5.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Passaggio 2.1.5.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + x + 2$

Passaggio 2.1.5.6

Scrivi $x^{3} + x - 2$ come insieme di fattori.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi $x - 1$ da $x^{2} (x + 1) (x - 1) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Scomponi $x - 1$ da $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Scomponi $x - 1$ da $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (x^{2} + x + 2)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + x^{2} + x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.8.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.8.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.8.2

Somma $2$ e $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + x^{2} + x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x^{2} + x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.10

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2} + x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.11

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1

Riscrivi $x^{3} + 2 x^{2} + x + 2$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) ((x^{3} + 2 x^{2}) + x + 2) = 0$

Passaggio 2.1.11.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) (x^{2} (x + 2) + 1 (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.1.11.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 2$ .

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Passaggio 2.1.11.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 1$

Passaggio 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i$

Passaggio 2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i$

Passaggio 2.5.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i$

Passaggio 2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i, - i$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 1) = 0$ vera.

$x = 1, - 2, i, - i$

Passaggio 3