Algebra Esempi

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x - 2, 2 - x$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $x - 2$ è $x - 2$ stesso.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $2 - x$ è $2 - x$ stesso.

$(2 - x) = 2 - x$

$(2 - x)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il minimo comune multiplo di $x - 2, 2 - x$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x - 2) (2 - x)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(x - 2) (2 - x)$ ciascun termine in $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ per $(x - 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} ((x - 2) (2 - x)) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{x - 2} ((x - 2) (2 - x)) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Passaggio 2.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} (2 - x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Passaggio 2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} \cdot 2 + 2 x^{2} (- x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Passaggio 2.2.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{2} + 2 x^{2} (- x) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Passaggio 2.2.1.3.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{2} x = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Sposta $x$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Passaggio 2.2.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{1 + 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Passaggio 2.2.2.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((x - 2) (2 - x))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $2 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $2 - x$ da $(x - 2) (2 - x)$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((2 - x) (x - 2))$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x} ((2 - x) (x - 2))$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = (- 7 x + 6) (x - 2)$

Passaggio 2.3.2

Espandi $(- 7 x + 6) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x (x - 2) + 6 (x - 2)$

Passaggio 2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x \cdot x - 7 x \cdot - 2 + 6 (x - 2)$

Passaggio 2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x \cdot x - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 (x \cdot x) - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} - 7 x \cdot - 2 + 6 x + 6 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 7$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 14 x + 6 x + 6 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.3.1.3

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 14 x + 6 x - 12$

Passaggio 2.3.3.2

Somma $14 x$ e $6 x$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} = - 7 x^{2} + 20 x - 12$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Somma $7 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} = 20 x - 12$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $20 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x = - 12$

Passaggio 3.1.3

Somma $4 x^{2}$ e $7 x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x = - 12$

Passaggio 3.2

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 3.3.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci $2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Sostituisci $2$ nel polinomio.

$- 2 \cdot 2^{3} + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Passaggio 3.3.1.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- 2 \cdot 8 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Passaggio 3.3.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $8$ .

$- 16 + 11 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2 + 12$

Passaggio 3.3.1.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 16 + 11 \cdot 4 - 20 \cdot 2 + 12$

Passaggio 3.3.1.3.5

Moltiplica $11$ per $4$ .

$- 16 + 44 - 20 \cdot 2 + 12$

Passaggio 3.3.1.3.6

Somma $- 16$ e $44$ .

$28 - 20 \cdot 2 + 12$

Passaggio 3.3.1.3.7

Moltiplica $- 20$ per $2$ .

$28 - 40 + 12$

Passaggio 3.3.1.3.8

Sottrai $40$ da $28$ .

$- 12 + 12$

Passaggio 3.3.1.3.9

Somma $- 12$ e $12$ .

$0$

Passaggio 3.3.1.4

Poiché $2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12}{x - 2}$

Passaggio 3.3.1.5

Dividi $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ per $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$20 x$

$12$

Passaggio 3.3.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$

Passaggio 3.3.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Passaggio 3.3.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 3.3.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Passaggio 3.3.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Passaggio 3.3.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$

Passaggio 3.3.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

Passaggio 3.3.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x^{2} - 14 x$

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

Passaggio 3.3.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$

Passaggio 3.3.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Passaggio 3.3.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$

Passaggio 3.3.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							-	$6 x$	+	$12$

Passaggio 3.3.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x + 12$

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$

Passaggio 3.3.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	-	$20 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$6 x$	+	$12$
							+	$6 x$	-	$12$
										$0$

Passaggio 3.3.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- 2 x^{2} + 7 x - 6$

Passaggio 3.3.1.6

Scrivi $- 2 x^{3} + 11 x^{2} - 20 x + 12$ come insieme di fattori.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 x - 6) = 0$

Passaggio 3.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 2 \cdot - 6 = 12$ e la cui somma è $b = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 7 (x) - 6) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Riscrivi $7$ come $3$ più $4$ .

$(x - 2) (- 2 x^{2} + (3 + 4) x - 6) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 x + 4 x - 6) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 2) ((- 2 x^{2} + 3 x) + 4 x - 6) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 2) (x (- 2 x + 3) - 2 (- 2 x + 3)) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 x + 3$ .

$(x - 2) ((- 2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$- 2 x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.6

Imposta $- 2 x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $- 2 x + 3$ uguale a $0$ .

$- 2 x + 3 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $- 2 x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 3$

Passaggio 3.6.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 3$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Passaggio 3.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Passaggio 3.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Passaggio 3.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (- 2 x + 3) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 2, \frac{3}{2}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\frac{2 x^{2}}{x - 2} = \frac{- 7 x + 6}{2 - x}$ vera.

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 5