Algebra Esempi

$f (x) = \log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$

Passaggio 1

Imposta $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2)$ uguale a $0$ .

$\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{9} ((2 x + 3) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(2 x + 3) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{9} (2 x (x - 2) + 3 (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{9} (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\log_{9} (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x + 3 \cdot - 2) = 0$

Passaggio 2.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - 4 x + 3 x - 6) = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Somma $- 4 x$ e $3 x$ .

$\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\log_{9} (2 x^{2} - x - 6) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$9^{0} = 2 x^{2} - x - 6$

Passaggio 2.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$ .

$2 x^{2} - x - 6 = 9^{0}$

Passaggio 2.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$2 x^{2} - x - 6 = 1$

Passaggio 2.3.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - x - 6 - 1 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Sottrai $1$ da $- 6$ .

$2 x^{2} - x - 7 = 0$

Passaggio 2.3.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3.5

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 1$ e $c = - 7$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.6.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ .

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Passaggio 2.3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.6.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 7$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 56}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.6.1.3

Somma $1$ e $56$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4}$

Passaggio 2.3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}, \frac{1 - \sqrt{57}}{4}$

Passaggio 2.4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{9} (2 x + 3) + \log_{9} (x - 2) = 0$ vera.

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{1 + \sqrt{57}}{4}$

Forma decimale:

$x = 2.13745860 \dots$

Passaggio 4