Algebra Esempi

$y = \cos (\frac{θ}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Passaggio 1

Utilizza la forma $a \cos (b x - c) + d$ per trovare le variabili utilizzate per calcolare l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento e la traslazione verticale.

$a = 1$

$b = \frac{1}{4}$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = - 2$

Passaggio 2

Trova l'ampiezza $| a |$ .

Ampiezza: $1$

Passaggio 3

Trova il periodo usando la formula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il periodo di $\cos (\frac{x}{4} + \frac{π}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.1.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{4}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Passaggio 3.1.3

$\frac{1}{4}$ corrisponde approssimativamente a $0.25$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 4$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 π$

Passaggio 3.2

Trova il periodo di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{4}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{1}{4}$ corrisponde approssimativamente a $0.25$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \cdot 4$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 π$

Passaggio 3.3

Il periodo di addizione/sottrazione delle funzioni trigonometriche è il massimo dei periodi individuali.

$8 π$

Passaggio 4

Trova lo sfasamento usando la formula $\frac{c}{b}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Si può calcolare lo sfasamento della funzione da $\frac{c}{b}$ .

Sfasamento: $\frac{c}{b}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $c$ e $b$ nell'equazione per lo sfasamento.

Sfasamento: $\frac{- \frac{π}{4}}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

Sfasamento: $- \frac{π}{4} \cdot 4$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{4}$ nel numeratore.

Sfasamento: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune.

Sfasamento: $\frac{- π}{4} \cdot 4$

Passaggio 4.4.3

Riscrivi l'espressione.

Sfasamento: $- π$

Passaggio 5

Elenca le proprietà della funzione trigonometrica.

Ampiezza: $1$

Periodo: $8 π$

Sfasamento: $- π$ ( $π$ a sinistra)

Traslazione verticale: $- 2$

Passaggio 6

Seleziona alcuni punti da rappresentare graficamente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il punto in corrispondenza di $x = - π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- π$ nell'espressione.

$f (- π) = \cos (\frac{- π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Passaggio 6.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- π) = \cos (\frac{- π + π}{4}) - 2$

Passaggio 6.1.2.1.2

Somma $- π$ e $π$ .

$f (- π) = \cos (\frac{0}{4}) - 2$

Passaggio 6.1.2.1.3

Dividi $0$ per $4$ .

$f (- π) = \cos (0) - 2$

Passaggio 6.1.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (- π) = 1 - 2$

Passaggio 6.1.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (- π) = - 1$

Passaggio 6.1.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.2

Trova il punto in corrispondenza di $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π$ nell'espressione.

$f (π) = \cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (π) = \cos (\frac{π + π}{4}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.2

Somma $π$ e $π$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{4}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 (π)}{4}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (π) = \cos (\frac{2 π}{2 \cdot 2}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Passaggio 6.2.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (π) = 0 - 2$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (π) = - 2$

Passaggio 6.2.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3 π$ nell'espressione.

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (3 π) = \cos (\frac{3 π + π}{4}) - 2$

Passaggio 6.3.2.1.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

Passaggio 6.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (3 π) = \cos (\frac{4 π}{4}) - 2$

Passaggio 6.3.2.1.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$f (3 π) = \cos (π) - 2$

Passaggio 6.3.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (3 π) = - \cos (0) - 2$

Passaggio 6.3.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (3 π) = - 1 \cdot 1 - 2$

Passaggio 6.3.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (3 π) = - 1 - 2$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f (3 π) = - 3$

Passaggio 6.3.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$- 3$

Passaggio 6.4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 5 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5 π$ nell'espressione.

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (5 π) = \cos (\frac{5 π + π}{4}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.2

Somma $5 π$ e $π$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{6 π}{4}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{4}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (5 π) = \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (5 π) = \cos (\frac{3 π}{2}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (5 π) = \cos (\frac{π}{2}) - 2$

Passaggio 6.4.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (5 π) = 0 - 2$

Passaggio 6.4.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (5 π) = - 2$

Passaggio 6.4.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.5

Trova il punto in corrispondenza di $x = 7 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7 π$ nell'espressione.

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π}{4} + \frac{π}{4}) - 2$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (7 π) = \cos (\frac{7 π + π}{4}) - 2$

Passaggio 6.5.2.1.2

Somma $7 π$ e $π$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{8 π}{4}) - 2$

Passaggio 6.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $8 π$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4}) - 2$

Passaggio 6.5.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)}) - 2$

Passaggio 6.5.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (7 π) = \cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1}) - 2$

Passaggio 6.5.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (7 π) = \cos (\frac{2 π}{1}) - 2$

Passaggio 6.5.2.1.3.2.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$f (7 π) = \cos (2 π) - 2$

Passaggio 6.5.2.1.4

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (7 π) = \cos (0) - 2$

Passaggio 6.5.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (7 π) = 1 - 2$

Passaggio 6.5.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (7 π) = - 1$

Passaggio 6.5.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 6.6

Elenca i punti in una tabella.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

Passaggio 7

Si può rappresentare graficamente la funzione trigonometrica usando l'ampiezza, il periodo, lo sfasamento, la traslazione verticale e i punti.

Ampiezza: $1$

Periodo: $8 π$

Sfasamento: $- π$ ( $π$ a sinistra)

Traslazione verticale: $- 2$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - π & - 1 \\ π & - 2 \\ 3 π & - 3 \\ 5 π & - 2 \\ 7 π & - 1 \end{array}$

Passaggio 8