Algebra Esempi

$\log_{256} (x) < \frac{1}{4}$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\log_{256} (x) = \frac{1}{4}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$256^{\frac{1}{4}} = x$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'equazione come $x = 256^{\frac{1}{4}}$ .

$x = 256^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $256^{\frac{1}{4}}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Riscrivi $256$ come $4^{4}$ .

$x = {(4^{4})}^{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = 4^{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 4^{1}$

Passaggio 2.2.2.3

Calcola l'esponente.

$x = 4$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\log_{256} (x) - \frac{1}{4}$ .

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Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\log_{256} (x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x > 0$

Passaggio 3.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(0, \infty)$

Passaggio 4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{256} (- 2) < \frac{1}{4}$

Passaggio 5.1.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

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Passaggio 5.1.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.1.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{256} (2) < \frac{1}{4}$

Passaggio 5.2.3

Il lato sinistro di $0.125$ è minore del lato destro di $0.25$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{256} (6) < \frac{1}{4}$

Passaggio 5.3.3

Il lato sinistro di $0.32312031$ non è minore del lato destro di $0.25$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x < 4$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$0 < x < 4$

Notazione degli intervalli:

$(0, 4)$

Passaggio 8