Algebra Esempi

$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{5}{4}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x - 1, x + 2, 4$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Passaggio 1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4$

Passaggio 1.6

Il fattore di $x - 1$ è $x - 1$ stesso.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il fattore di $x + 2$ è $x + 2$ stesso.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il minimo comune multiplo di $x - 1, x + 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x - 1) (x + 2)$

Passaggio 1.9

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$4 (x - 1) (x + 2)$

Passaggio 2

Moltiplica per $4 (x - 1) (x + 2)$ ciascun termine in $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{5}{4}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{5}{4}$ per $4 (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{1}{x - 1} (4 (x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (4 (x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (4 (x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{4}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (4 (x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (4 (x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$4 (x + 2) + \frac{1}{x + 2} (4 (x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 4 \cdot 2 + \frac{1}{x + 2} (4 (x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$4 x + 8 + \frac{1}{x + 2} (4 (x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 x + 8 + 4 \frac{1}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.7

$4$ e $\frac{1}{x + 2}$ .

$4 x + 8 + \frac{4}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.8

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.8.1

Scomponi $x + 2$ da $(x - 1) (x + 2)$ .

$4 x + 8 + \frac{4}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$4 x + 8 + \frac{4}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$4 x + 8 + 4 (x - 1) = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 8 + 4 x + 4 \cdot - 1 = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.1.10

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 x + 8 + 4 x - 4 = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$8 x + 8 - 4 = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $4$ da $8$ .

$8 x + 4 = \frac{5}{4} (4 (x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 (x - 1) (x + 2)$ .

$8 x + 4 = \frac{5}{4} (4 ((x - 1) (x + 2)))$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$8 x + 4 = \frac{5}{4} (4 ((x - 1) (x + 2)))$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$8 x + 4 = 5 ((x - 1) (x + 2))$

Passaggio 2.3.2

Espandi $(x - 1) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$8 x + 4 = 5 (x (x + 2) - 1 (x + 2))$

Passaggio 2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 x + 4 = 5 (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2))$

Passaggio 2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 x + 4 = 5 (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2)$

Passaggio 2.3.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$8 x + 4 = 5 (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2)$

Passaggio 2.3.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$8 x + 4 = 5 (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2)$

Passaggio 2.3.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$8 x + 4 = 5 (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2)$

Passaggio 2.3.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 x + 4 = 5 (x^{2} + 2 x - x - 2)$

Passaggio 2.3.3.2

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$8 x + 4 = 5 (x^{2} + x - 2)$

Passaggio 2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$8 x + 4 = 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$8 x + 4 = 5 x^{2} + 5 x - 10$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$5 x^{2} + 5 x - 10 = 8 x + 4$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $8 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} + 5 x - 10 - 8 x = 4$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $8 x$ da $5 x$ .

$5 x^{2} - 3 x - 10 = 4$

Passaggio 3.3

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} - 3 x - 10 - 4 = 0$

Passaggio 3.4

Sottrai $4$ da $- 10$ .

$5 x^{2} - 3 x - 14 = 0$

Passaggio 3.5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 5 \cdot - 14 = - 70$ e la cui somma è $b = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$5 x^{2} - 3 x - 14 = 0$

Passaggio 3.5.1.2

Riscrivi $- 3$ come $7$ più $- 10$ .

$5 x^{2} + (7 - 10) x - 14 = 0$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$5 x^{2} + 7 x - 10 x - 14 = 0$

Passaggio 3.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(5 x^{2} + 7 x) - 10 x - 14 = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (5 x + 7) - 2 (5 x + 7) = 0$

Passaggio 3.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $5 x + 7$ .

$(5 x + 7) (x - 2) = 0$

Passaggio 3.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$5 x + 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.7

Imposta $5 x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Imposta $5 x + 7$ uguale a $0$ .

$5 x + 7 = 0$

Passaggio 3.7.2

Risolvi $5 x + 7 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = - 7$

Passaggio 3.7.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = - 7$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 7}{5}$

Passaggio 3.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 7}{5}$

Passaggio 3.7.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 7}{5}$

Passaggio 3.7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7}{5}$

Passaggio 3.8

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 3.8.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 3.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(5 x + 7) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{7}{5}, 2$