Algebra Esempi

$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1$ , $x \geq 2$

Passaggio 1

Trova l'intervallo della funzione data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

$[- 7, \infty)$

Passaggio 1.2

Converti $[- 7, \infty)$ in una diseguaglianza.

$y \geq - 7$

Passaggio 2

Trova l'inverso.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scambia le variabili.

$x = 2 y^{2} - 8 y + 1$

Passaggio 2.2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi l'equazione come $2 y^{2} - 8 y + 1 = x$ .

$2 y^{2} - 8 y + 1 = x$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y^{2} - 8 y + 1 - x = 0$

Passaggio 2.2.3

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.2.4

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 8$ e $c = 1 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.1.6

Sottrai $8$ da $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.1.7

Scomponi $8$ da $56 + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.7.1

Scomponi $8$ da $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.1.7.2

Scomponi $8$ da $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.1.8

Riscrivi $8 (7 + x)$ come $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Passaggio 2.2.5.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Passaggio 2.2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.1.6

Sottrai $8$ da $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.1.7

Scomponi $8$ da $56 + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.7.1

Scomponi $8$ da $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.1.7.2

Scomponi $8$ da $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.1.8

Riscrivi $8 (7 + x)$ come $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Passaggio 2.2.6.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Passaggio 2.2.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 \cdot 1 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 8 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.1.6

Sottrai $8$ da $64$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{56 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.1.7

Scomponi $8$ da $56 + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1.7.1

Scomponi $8$ da $56$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 \cdot 7 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.1.7.2

Scomponi $8$ da $8 \cdot 7 + 8 x$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.1.8

Riscrivi $8 (7 + x)$ come $2^{2} \cdot (2 (7 + x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1.8.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{4 (2) (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.1.8.3

Aggiungi le parentesi.

$y = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (7 + x))}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$

Passaggio 2.2.7.3

Semplifica $\frac{8 \pm 2 \sqrt{2 (7 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Passaggio 2.2.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Passaggio 2.2.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

$y = \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Passaggio 2.3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, \frac{4 - \sqrt{2 (7 + x)}}{2}$

Passaggio 3

Trova l'inverso usando il dominio e l'intervallo della funzione originale.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 + \sqrt{2 (7 + x)}}{2}, x \geq - 7$

Passaggio 4