Algebra Esempi

$\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + 1, x, 20$

Passaggio 1.2

Poiché $x + 1, x, 20$ contiene sia numeri che variabili, ci sono quattro passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per le parti numerica, variabile e variabile composta. Quindi, moltiplica tutto insieme.

I passaggi per trovare il minimo comune multiplo per $x + 1, x, 20$ sono:

1. Trova il minimo comune multiplo della parte numerica $1, 1, 20$ .

2. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{1}$

3. Trova il minimo comune multiplo per la parte variabile composta $x + 1$ .

4. Moltiplica tutti i minimi comuni multipli tra loro.

Passaggio 1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.5

I fattori primi per $20$ sono $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

$20$ presenta fattori di $2$ e $10$ .

$2 \cdot 10$

Passaggio 1.5.2

$10$ presenta fattori di $2$ e $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Passaggio 1.6

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 5$

Passaggio 1.6.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20$

Passaggio 1.7

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x$

Passaggio 1.9

Il fattore di $x + 1$ è $x + 1$ stesso.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.10

Il minimo comune multiplo di $x + 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x + 1$

Passaggio 1.11

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$20 x (x + 1)$

Passaggio 2

Moltiplica per $20 x (x + 1)$ ciascun termine in $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{20}$ per $20 x (x + 1)$ .

$\frac{x}{x + 1} (20 x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$20 \frac{x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.2

$20$ e $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{20 x}{x + 1} (x (x + 1)) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Scomponi $x + 1$ da $x (x + 1)$ .

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{20 x}{x + 1} ((x + 1) x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$20 x \cdot x - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$20 (x^{1} x) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$20 (x^{1} x^{1}) - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 x^{1 + 1} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$20 x^{2} - \frac{x - 1}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.1.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x - 1}{x}$ nel numeratore.

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (20 x (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.8.2

Scomponi $x$ da $20 x (x + 1)$ .

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$20 x^{2} + \frac{- (x - 1)}{x} (x (20 (x + 1))) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$20 x^{2} - (x - 1) (20 (x + 1)) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.9

Moltiplica $20$ per $- 1$ .

$20 x^{2} - 20 (x - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$20 x^{2} + (- 20 x - 20 \cdot - 1) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.11

Moltiplica $- 20$ per $- 1$ .

$20 x^{2} + (- 20 x + 20) (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.12

Espandi $(- 20 x + 20) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$20 x^{2} - 20 x (x + 1) + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 (x + 1) = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$20 x^{2} - 20 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.13

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.2.1.13.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.13.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.13.1.1.1

Sposta $x$ .

$20 x^{2} - 20 (x \cdot x) - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.13.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.13.1.2

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 \cdot 1 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.13.1.3

Moltiplica $20$ per $1$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} - 20 x + 20 x + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.13.2

Somma $- 20 x$ e $20 x$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.1.13.3

Somma $- 20 x^{2}$ e $0$ .

$20 x^{2} - 20 x^{2} + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 2.2.2.1

Sottrai $20 x^{2}$ da $20 x^{2}$ .

$0 + 20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $0$ e $20$ .

$20 = \frac{1}{20} (20 x (x + 1))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $20$ da $20 x (x + 1)$ .

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$20 = \frac{1}{20} (20 (x (x + 1)))$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$20 = x (x + 1)$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$20 = x \cdot x + x \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$20 = x^{2} + x \cdot 1$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$20 = x^{2} + x$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + x = 20$ .

$x^{2} + x = 20$

Passaggio 3.2

Sottrai $20$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + x - 20 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $x^{2} + x - 20$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 20$ e la cui somma è $1$ .

$- 4, 5$

Passaggio 3.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3.6

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 4, - 5$