Algebra Esempi

$\frac{2}{x + 1} \leq \frac{3}{x - 1}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{3}{x - 1}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{x - 1} \leq 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{2}{x + 1} - \frac{3}{x - 1}$ .

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{2}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \leq 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{3}{x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 1) (x - 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{2}{x + 1}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{3}{x - 1}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} \leq 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 (x - 1) - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x - 2 - 3 x - 3 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{2 x - 2 - 3 x - 3}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.5

Sottrai $3 x$ da $2 x$ .

$\frac{- x - 2 - 3}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.5.6

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$\frac{- x - 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) - 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$\frac{- (x) - 1 (5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (x + 5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.9

Riscrivi $- (x + 5)$ come $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{- 1 (x + 5)}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - 5$

$x = - 1$

$x = 1$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = - 5, - 1, 1$

Passaggio 9

Trova il dominio di $- \frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 9.2.2

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 9.2.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(- 8) + 1} \leq \frac{3}{(- 8) - 1}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{285714}$ è maggiore del lato destro di $- 0.\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(- 3) + 1} \leq \frac{3}{(- 3) - 1}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $- 0.75$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(0) + 1} \leq \frac{3}{(0) - 1}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $2$ è maggiore del lato destro di $- 3$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{3}{(4) - 1}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $0.4$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 5 \leq x < - 1$ o $x > 1$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 5 \leq x < - 1 or x > 1$

Notazione degli intervalli:

$[- 5, - 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 14