Algebra Esempi

$\sin (x) \leq \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x \leq \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x \leq \frac{π}{6}$

Passaggio 3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 4

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Passaggio 4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$

Passaggio 8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 8.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 8.1.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (2) \leq \frac{1}{2}$

Passaggio 8.1.3

Il lato sinistro di $0.90929742$ è maggiore del lato destro di $0.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 5$

Passaggio 8.2.2

Sostituisci $x$ con $5$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (5) \leq \frac{1}{2}$

Passaggio 8.2.3

Il lato sinistro di $- 0.95892427$ è minore del lato destro di $0.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 8.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 8.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\sin (8) \leq \frac{1}{2}$

Passaggio 8.3.3

Il lato sinistro di $0.98935824$ è maggiore del lato destro di $0.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Falso

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Vero

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Falso

$\frac{π}{6} < x < \frac{5 π}{6}$ Falso

$\frac{5 π}{6} < x < \frac{13 π}{6}$ Vero

$\frac{13 π}{6} < x < \frac{17 π}{6}$ Falso

Passaggio 9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{5 π}{6} + 2 π n \leq x \leq \frac{13 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10