Algebra Esempi

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 y + 4} = 3$

Passaggio 1

Risolvi per $\sqrt{- 4 y + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $2 y + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 (y) + 4} = 3$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 y + 2 \cdot 2} = 3$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $2$ da $2 y + 2 \cdot 2$ .

$\sqrt{- 4 y + 1} + \sqrt{2 (y + 2)} = 3$

Passaggio 1.2

Sottrai $\sqrt{2 (y + 2)}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{- 4 y + 1} = 3 - \sqrt{2 (y + 2)}$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- 4 y + 1}}^{2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- 4 y + 1}$ come ${(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- 4 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- 4 y + 1)}^{1} = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$- 4 y + 1 = {(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(3 - \sqrt{2 (y + 2)})}^{2}$ come $(3 - \sqrt{2 (y + 2)}) (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$ .

$- 4 y + 1 = (3 - \sqrt{2 (y + 2)}) (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(3 - \sqrt{2 (y + 2)}) (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 y + 1 = 3 (3 - \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 y + 1 = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} (3 - \sqrt{2 (y + 2)})$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 y + 1 = 3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} \cdot 3 - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- 4 y + 1 = 9 + 3 (- \sqrt{2 (y + 2)}) - \sqrt{2 (y + 2)} \cdot 3 - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - \sqrt{2 (y + 2)} \cdot 3 - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Moltiplica $- \sqrt{2 (y + 2)} (- \sqrt{2 (y + 2)})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 1 \sqrt{2 (y + 2)} \sqrt{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{2 (y + 2)}$ per $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + \sqrt{2 (y + 2)} \sqrt{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.3

Eleva $\sqrt{2 (y + 2)}$ alla potenza di $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1} \sqrt{2 (y + 2)}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.4

Eleva $\sqrt{2 (y + 2)}$ alla potenza di $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{1 + 1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {\sqrt{2 (y + 2)}}^{2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{2 (y + 2)}}^{2}$ come $2 (y + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (y + 2)}$ come ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {({(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + {(2 (y + 2))}^{1}$

Passaggio 3.3.1.3.1.5.5

Semplifica.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 (y + 2)$

Passaggio 3.3.1.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y + 2 \cdot 2$

Passaggio 3.3.1.3.1.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 4 y + 1 = 9 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y + 4$

Passaggio 3.3.1.3.2

Somma $9$ e $4$ .

$- 4 y + 1 = 13 - 3 \sqrt{2 (y + 2)} - 3 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y$

Passaggio 3.3.1.3.3

Sottrai $3 \sqrt{2 (y + 2)}$ da $- 3 \sqrt{2 (y + 2)}$ .

$- 4 y + 1 = 13 - 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y$

Passaggio 4

Risolvi per $- 6 \sqrt{2 (y + 2)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $13 - 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y = - 4 y + 1$ .

$13 - 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y = - 4 y + 1$

Passaggio 4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $- 6 \sqrt{2 (y + 2)}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $13$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} + 2 y = - 4 y + 1 - 13$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} = - 4 y + 1 - 13 - 2 y$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $2 y$ da $- 4 y$ .

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} = - 6 y + 1 - 13$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $13$ da $1$ .

$- 6 \sqrt{2 (y + 2)} = - 6 y - 12$

Passaggio 5

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(- 6 \sqrt{2 (y + 2)})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (y + 2)}$ come ${(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6 {(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ${(- 6 {(2 (y + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

${(- 6 {(2 y + 2 \cdot 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

${(- 6 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2.2

Applica la regola del prodotto a $- 6 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 6)}^{2} {({(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2.3

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$36 {({(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2.4

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$36 {(2 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$36 {(2 y + 4)}^{1} = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Semplifica.

$36 (2 y + 4) = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$36 (2 y) + 36 \cdot 4 = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Moltiplica $2$ per $36$ .

$72 y + 36 \cdot 4 = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5.2

Moltiplica $36$ per $4$ .

$72 y + 144 = {(- 6 y - 12)}^{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica ${(- 6 y - 12)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Riscrivi ${(- 6 y - 12)}^{2}$ come $(- 6 y - 12) (- 6 y - 12)$ .

$72 y + 144 = (- 6 y - 12) (- 6 y - 12)$

Passaggio 6.3.1.2

Espandi $(- 6 y - 12) (- 6 y - 12)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$72 y + 144 = - 6 y (- 6 y - 12) - 12 (- 6 y - 12)$

Passaggio 6.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$72 y + 144 = - 6 y (- 6 y) - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y - 12)$

Passaggio 6.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$72 y + 144 = - 6 y (- 6 y) - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$72 y + 144 = - 6 \cdot - 6 y \cdot y - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Passaggio 6.3.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$72 y + 144 = - 6 \cdot - 6 (y \cdot y) - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Passaggio 6.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$72 y + 144 = - 6 \cdot - 6 y^{2} - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Passaggio 6.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} - 6 y \cdot - 12 - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Passaggio 6.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 12$ per $- 6$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 72 y - 12 (- 6 y) - 12 \cdot - 12$

Passaggio 6.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 6$ per $- 12$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 72 y + 72 y - 12 \cdot - 12$

Passaggio 6.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 12$ per $- 12$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 72 y + 72 y + 144$

Passaggio 6.3.1.3.2

Somma $72 y$ e $72 y$ .

$72 y + 144 = 36 y^{2} + 144 y + 144$

Passaggio 7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$36 y^{2} + 144 y + 144 = 72 y + 144$

Passaggio 7.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $72 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$36 y^{2} + 144 y + 144 - 72 y = 144$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $72 y$ da $144 y$ .

$36 y^{2} + 72 y + 144 = 144$

Passaggio 7.3

Sottrai $144$ da entrambi i lati dell'equazione.

$36 y^{2} + 72 y + 144 - 144 = 0$

Passaggio 7.4

Combina i termini opposti in $36 y^{2} + 72 y + 144 - 144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sottrai $144$ da $144$ .

$36 y^{2} + 72 y + 0 = 0$

Passaggio 7.4.2

Somma $36 y^{2} + 72 y$ e $0$ .

$36 y^{2} + 72 y = 0$

Passaggio 7.5

Scomponi $36 y$ da $36 y^{2} + 72 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scomponi $36 y$ da $36 y^{2}$ .

$36 y (y) + 72 y = 0$

Passaggio 7.5.2

Scomponi $36 y$ da $72 y$ .

$36 y (y) + 36 y (2) = 0$

Passaggio 7.5.3

Scomponi $36 y$ da $36 y (y) + 36 y (2)$ .

$36 y (y + 2) = 0$

Passaggio 7.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y = 0$

$y + 2 = 0$

Passaggio 7.7

Imposta $y$ uguale a $0$ .

$y = 0$

Passaggio 7.8

Imposta $y + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Imposta $y + 2$ uguale a $0$ .

$y + 2 = 0$

Passaggio 7.8.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2$

Passaggio 7.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $36 y (y + 2) = 0$ vera.

$y = 0, - 2$