Algebra Esempi

$\frac{4 r}{r^{2} - 1} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{4 r}{r^{2} - 1^{2}} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

Passaggio 1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = r$ e $b = 1$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1}$

Passaggio 1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 r + 1^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 r = 2 \cdot r \cdot 1$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{r^{2} - 2 \cdot r \cdot 1 + 1^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = r$ e $b = 1$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{r - 1}{r - 1}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} \cdot \frac{r - 1}{r - 1} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Per scrivere $- \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{r + 1}{r + 1}$ .

$\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)} \cdot \frac{r - 1}{r - 1} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(r + 1) {(r - 1)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{4 r}{(r + 1) (r - 1)}$ per $\frac{r - 1}{r - 1}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) (r - 1) (r - 1)} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Passaggio 4.2

Eleva $r - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) ({(r - 1)}^{1} (r - 1))} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Passaggio 4.3

Eleva $r - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) ({(r - 1)}^{1} {(r - 1)}^{1})} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Passaggio 4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{1 + 1}} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Passaggio 4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{2}} - \frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}} \cdot \frac{r + 1}{r + 1}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $\frac{3 r + 1}{{(r - 1)}^{2}}$ per $\frac{r + 1}{r + 1}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{(r + 1) {(r - 1)}^{2}} - \frac{(3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 4.7

Riordina i fattori di $(r + 1) {(r - 1)}^{2}$ .

$\frac{4 r (r - 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)} - \frac{(3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 r (r - 1) - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 r \cdot r + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Sposta $r$ .

$\frac{4 (r \cdot r) + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$\frac{4 r^{2} + 4 r \cdot - 1 - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - (3 r + 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- (3 r) - 1 \cdot 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- 3 r - 1 \cdot 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r + (- 3 r - 1) (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.7

Espandi $(- 3 r - 1) (r + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r (r + 1) - 1 (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 (r + 1)}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.8

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.8.1.1

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.8.1.1.1

Sposta $r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 (r \cdot r) - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.8.1.1.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.8.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - 1 r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.8.1.3

Riscrivi $- 1 r$ come $- r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - r - 1 \cdot 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.8.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 3 r - r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.8.2

Sottrai $r$ da $- 3 r$ .

$\frac{4 r^{2} - 4 r - 3 r^{2} - 4 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.9

Sottrai $3 r^{2}$ da $4 r^{2}$ .

$\frac{r^{2} - 4 r - 4 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$

Passaggio 6.10

Sottrai $4 r$ da $- 4 r$ .

$\frac{r^{2} - 8 r - 1}{{(r - 1)}^{2} (r + 1)}$