Algebra Esempi

$\frac{5 r}{r^{2} - 9} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{5 r}{r^{2} - 3^{2}} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Passaggio 1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = r$ e $b = 3$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 9}$

Passaggio 1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 6 r + 3^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 r = 2 \cdot r \cdot 3$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{r^{2} - 2 \cdot r \cdot 3 + 3^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = r$ e $b = 3$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{r - 3}{r - 3}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Per scrivere $- \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{r + 3}{r + 3}$ .

$\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)} \cdot \frac{r - 3}{r - 3} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{5 r}{(r + 3) (r - 3)}$ per $\frac{r - 3}{r - 3}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) (r - 3) (r - 3)} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Passaggio 4.2

Eleva $r - 3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} (r - 3))} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Passaggio 4.3

Eleva $r - 3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) ({(r - 3)}^{1} {(r - 3)}^{1})} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Passaggio 4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{1 + 1}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Passaggio 4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}} \cdot \frac{r + 3}{r + 3}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $\frac{4 r + 1}{{(r - 3)}^{2}}$ per $\frac{r + 3}{r + 3}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{(r + 3) {(r - 3)}^{2}} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 4.7

Riordina i fattori di $(r + 3) {(r - 3)}^{2}$ .

$\frac{5 r (r - 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)} - \frac{(4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 r (r - 3) - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 r \cdot r + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Sposta $r$ .

$\frac{5 (r \cdot r) + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$\frac{5 r^{2} + 5 r \cdot - 3 - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - (4 r + 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- (4 r) - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1 \cdot 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r + (- 4 r - 1) (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.7

Espandi $(- 4 r - 1) (r + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r (r + 3) - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 (r + 3)}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r \cdot r - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.8

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 6.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.8.1.1

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.8.1.1.1

Sposta $r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 (r \cdot r) - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.8.1.1.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 4 r \cdot 3 - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.8.1.2

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - 1 r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.8.1.3

Riscrivi $- 1 r$ come $- r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 1 \cdot 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.8.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 12 r - r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.8.2

Sottrai $r$ da $- 12 r$ .

$\frac{5 r^{2} - 15 r - 4 r^{2} - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.9

Sottrai $4 r^{2}$ da $5 r^{2}$ .

$\frac{r^{2} - 15 r - 13 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$

Passaggio 6.10

Sottrai $13 r$ da $- 15 r$ .

$\frac{r^{2} - 28 r - 3}{{(r - 3)}^{2} (r + 3)}$