Algebra Esempi

$2 \cos^{2} (θ) = 2 + \sin (θ)$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos^{2} (θ) - 2 = \sin (θ)$

Passaggio 1.2

Sottrai $\sin (θ)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ) = 0$

Passaggio 2

Semplifica $2 \cos^{2} (θ) - 2 - \sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riordina $2 \cos^{2} (θ)$ e $- 2$ .

$- 2 + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 2$ da $- 2$ .

$- 2 (1) + 2 \cos^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $- 2$ da $2 \cos^{2} (θ)$ .

$- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi $- 2$ da $- 2 (1) - 2 (- \cos^{2} (θ))$ .

$- 2 (1 - \cos^{2} (θ)) - \sin (θ) = 0$

Passaggio 2.5

Applica l'identità pitagorica.

$- 2 \sin^{2} (θ) - \sin (θ) = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sia $u = \sin (θ)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sin (θ)$ con $u$ .

$- 2 u^{2} - u = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $u$ da $- 2 u^{2} - u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Scomponi $u$ da $- 2 u^{2}$ .

$u (- 2 u) - u = 0$

Passaggio 3.1.2.2

Scomponi $u$ da $- u$ .

$u (- 2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Passaggio 3.1.2.3

Scomponi $u$ da $u (- 2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (- 2 u - 1) = 0$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $\sin (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Imposta $\sin (θ)$ uguale a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Passaggio 3.3.2

Risolvi $\sin (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (0)$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 3.3.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = π - 0$

Passaggio 3.3.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$θ = π$

Passaggio 3.3.2.5

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.3.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.3.2.6

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.4

Imposta $- 2 \sin (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $- 2 \sin (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$- 2 \sin (θ) - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $- 2 \sin (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (θ) = 1$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (θ) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (θ) = 1$ .

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 3.4.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (θ)$ per $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{- 2}$

Passaggio 3.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (θ) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.4.2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 3.4.2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 3.4.2.6.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 3.4.2.7

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.4.2.8

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.8.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 3.4.2.8.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.4.2.8.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.8.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.4.2.8.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 3.4.2.8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.2.8.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 3.4.2.8.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 3.4.2.8.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$θ = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 3.4.2.9

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\sin (θ) (- 2 \sin (θ) - 1) = 0$ vera.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$θ = π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$