Algebra Esempi

$\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} \geq 9$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}}^{2} \geq 9^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9}$ come ${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \geq 9^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \geq 9^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{1} \geq 9^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 9^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$4 x^{2} - 12 x + 9 \geq 81$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 81$

Passaggio 3.2

Sottrai $81$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - 12 x + 9 - 81 = 0$

Passaggio 3.3

Sottrai $81$ da $9$ .

$4 x^{2} - 12 x - 72 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 12 x - 72$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 12 x - 72 = 0$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $4$ da $- 12 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 3 x) - 72 = 0$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $4$ da $- 72$ .

$4 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Passaggio 3.4.1.4

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 (- 3 x)$ .

$4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18 = 0$

Passaggio 3.4.1.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} - 3 x) + 4 \cdot - 18$ .

$4 (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Passaggio 3.4.2

Scomponi.

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Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $x^{2} - 3 x - 18$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 18$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 6, 3$

Passaggio 3.4.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$4 ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Passaggio 3.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 6) (x + 3) = 0$

Passaggio 3.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.6

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.6.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 3.7

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.7.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 6) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 6, - 3$

Passaggio 4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$x > 6$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{4 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 + 9} \geq 9$

Passaggio 5.1.3

Il lato sinistro di $15$ è maggiore del lato destro di $9$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{4 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9} \geq 9$

Passaggio 5.2.3

Il lato sinistro di $3$ è minore del lato destro di $9$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\sqrt{4 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 + 9} \geq 9$

Passaggio 5.3.3

Il lato sinistro di $13$ è maggiore del lato destro di $9$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Vero

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Vero

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 3$ o $x \geq 6$

Passaggio 7

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 3] \cup [6, \infty)$

Passaggio 8