Algebra Esempi

$\tan (\frac{θ}{2}) = \sqrt{3}$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$\frac{θ}{2} = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arctan (\sqrt{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$\frac{θ}{2} = \frac{π}{3}$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Passaggio 4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Passaggio 4.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = 2 \frac{π}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 5

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{θ}{2} = π + \frac{π}{3}$

Passaggio 6

Risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$θ = 2 (π + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica $2 (π + \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (\frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3})$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = 2 \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$θ = 2 \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.3.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$θ = 2 \frac{4 π}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.4

Moltiplica $2 \frac{4 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

$2$ e $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3}$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\tan (\frac{θ}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$π \cdot 2$

Passaggio 7.5

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$2 π$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\tan (\frac{θ}{2})$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Consolida le risposte.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$