Algebra Esempi

$(30 - 2 x) (20 - 2 x) (x) = 1008$

Passaggio 1

Semplifica $(30 - 2 x) (20 - 2 x) (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Espandi $(30 - 2 x) (20 - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(30 (20 - 2 x) - 2 x (20 - 2 x)) x = 1008$

Passaggio 1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(30 \cdot 20 + 30 (- 2 x) - 2 x (20 - 2 x)) x = 1008$

Passaggio 1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(30 \cdot 20 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Passaggio 1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Moltiplica $30$ per $20$ .

$(600 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Passaggio 1.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $30$ .

$(600 - 60 x - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Passaggio 1.2.1.3

Moltiplica $20$ per $- 2$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Passaggio 1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) x = 1008$

Passaggio 1.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) x = 1008$

Passaggio 1.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) x = 1008$

Passaggio 1.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$(600 - 60 x - 40 x + 4 x^{2}) x = 1008$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $40 x$ da $- 60 x$ .

$(600 - 100 x + 4 x^{2}) x = 1008$

Passaggio 1.3

Applica la proprietà distributiva.

$600 x - 100 x \cdot x + 4 x^{2} x = 1008$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Sposta $x$ .

$600 x - 100 (x \cdot x) + 4 x^{2} x = 1008$

Passaggio 1.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{2} x = 1008$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sposta $x$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 (x \cdot x^{2}) = 1008$

Passaggio 1.4.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 (x^{1} x^{2}) = 1008$

Passaggio 1.4.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{1 + 2} = 1008$

Passaggio 1.4.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} = 1008$

Passaggio 2

Sottrai $1008$ da entrambi i lati dell'equazione.

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Scomponi $4$ da $600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $4$ da $600 x$ .

$4 (150 x) - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $4$ da $- 100 x^{2}$ .

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 (x^{3}) - 1008 = 0$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $4$ da $- 1008$ .

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 \cdot - 252 = 0$

Passaggio 3.1.5

Scomponi $4$ da $4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2})$ .

$4 (150 x - 25 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 \cdot - 252 = 0$

Passaggio 3.1.6

Scomponi $4$ da $4 (150 x - 25 x^{2}) + 4 x^{3}$ .

$4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3}) + 4 \cdot - 252 = 0$

Passaggio 3.1.7

Scomponi $4$ da $4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3}) + 4 \cdot - 252$ .

$4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3} - 252) = 0$

Passaggio 3.2

Riordina i termini.

$4 (x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi.

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 3.3.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

$q = \pm 1$

Passaggio 3.3.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 3.3.1.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$3^{3} - 25 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 252$

Passaggio 3.3.1.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 - 25 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 252$

Passaggio 3.3.1.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 - 25 \cdot 9 + 150 \cdot 3 - 252$

Passaggio 3.3.1.3.4

Moltiplica $- 25$ per $9$ .

$27 - 225 + 150 \cdot 3 - 252$

Passaggio 3.3.1.3.5

Sottrai $225$ da $27$ .

$- 198 + 150 \cdot 3 - 252$

Passaggio 3.3.1.3.6

Moltiplica $150$ per $3$ .

$- 198 + 450 - 252$

Passaggio 3.3.1.3.7

Somma $- 198$ e $450$ .

$252 - 252$

Passaggio 3.3.1.3.8

Sottrai $252$ da $252$ .

$0$

Passaggio 3.3.1.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252}{x - 3}$

Passaggio 3.3.1.5

Dividi $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ per $x - 3$ .

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Passaggio 3.3.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$252$

Passaggio 3.3.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$

Passaggio 3.3.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 3.3.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 3.3.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$

Passaggio 3.3.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$

Passaggio 3.3.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 22 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$

Passaggio 3.3.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$66 x$

Passaggio 3.3.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 22 x^{2} + 66 x$

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$

Passaggio 3.3.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$

Passaggio 3.3.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$

Passaggio 3.3.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $84 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$

Passaggio 3.3.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							+	$84 x$	-	$252$

Passaggio 3.3.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $84 x - 252$

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							-	$84 x$	+	$252$

Passaggio 3.3.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							-	$84 x$	+	$252$
										$0$

Passaggio 3.3.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 22 x + 84$

Passaggio 3.3.1.6

Scrivi $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ come insieme di fattori.

$4 ((x - 3) (x^{2} - 22 x + 84)) = 0$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 3) (x^{2} - 22 x + 84) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 22 x + 84 = 0$

Passaggio 5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6

Imposta $x^{2} - 22 x + 84$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x^{2} - 22 x + 84$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 22 x + 84 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $x^{2} - 22 x + 84 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 22$ e $c = 84$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 84)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.3.1.1

Eleva $- 22$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 1 \cdot 84}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 84$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 84}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $84$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 336}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Sottrai $336$ da $484$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.4

Riscrivi $148$ come $2^{2} \cdot 37$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $148$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica $\frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$x = 11 \pm \sqrt{37}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 3) (x^{2} - 22 x + 84) = 0$ vera.

$x = 3, 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 3, 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Forma decimale:

$x = 3, 17.08276253 \dots, 4.91723746 \dots$