Algebra Esempi

${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2} - 27 \sin^{2} (x) = 9$

Passaggio 1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2} - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2

Semplifica ${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2} - 27 \sin^{2} (x) - 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi ${(3 \cos (x) - 6 \sin (x))}^{2}$ come $(3 \cos (x) - 6 \sin (x)) (3 \cos (x) - 6 \sin (x))$ .

$(3 \cos (x) - 6 \sin (x)) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.2

Espandi $(3 \cos (x) - 6 \sin (x)) (3 \cos (x) - 6 \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cos (x) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x) - 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 \cos (x) (3 \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1

Moltiplica $3 \cos (x) (3 \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) (- 6 \sin (x)) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.2

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 6 \sin (x) (3 \cos (x)) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $- 6$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) - 6 \sin (x) (- 6 \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.4

Moltiplica $- 6 \sin (x) (- 6 \sin (x))$ .

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Passaggio 2.1.3.1.4.1

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 \sin (x) \sin (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.4.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.4.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 {\sin (x)}^{1 + 1} - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \sin (x) \cos (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Riordina i fattori di $- 18 \sin (x) \cos (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) - 18 \cos (x) \sin (x) - 18 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Sottrai $18 \cos (x) \sin (x)$ da $- 18 \cos (x) \sin (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) - 9 = 0$

Passaggio 2.2

Sposta $- 9$ .

$9 \cos^{2} (x) - 9 - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.3

Riordina $9 \cos^{2} (x)$ e $- 9$ .

$- 9 + 9 \cos^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi $- 9$ da $- 9$ .

$- 9 (1) + 9 \cos^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.5

Scomponi $- 9$ da $9 \cos^{2} (x)$ .

$- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x)) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.6

Scomponi $- 9$ da $- 9 (1) - 9 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 9 (1 - \cos^{2} (x)) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.7

Applica l'identità pitagorica.

$- 9 \sin^{2} (x) - 36 \cos (x) \sin (x) + 36 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.8

Somma $- 9 \sin^{2} (x)$ e $36 \sin^{2} (x)$ .

$- 36 \cos (x) \sin (x) + 27 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.9

Combina i termini opposti in $- 36 \cos (x) \sin (x) + 27 \sin^{2} (x) - 27 \sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.9.1

Sottrai $27 \sin^{2} (x)$ da $27 \sin^{2} (x)$ .

$- 36 \cos (x) \sin (x) + 0 = 0$

Passaggio 2.9.2

Somma $- 36 \cos (x) \sin (x)$ e $0$ .

$- 36 \cos (x) \sin (x) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Passaggio 4

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 4.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 4.2.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 36 \cos (x) \sin (x) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$