Algebra Esempi

$y = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$

Passaggio 1

Scomponi $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Passaggio 1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$

Passaggio 1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 1 - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$

Passaggio 1.3.4

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$2 - 7 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 12$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$2 - 7 - 7 \cdot 1 + 12$

Passaggio 1.3.6

Sottrai $7$ da $2$ .

$- 5 - 7 \cdot 1 + 12$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$- 5 - 7 + 12$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $7$ da $- 5$ .

$- 12 + 12$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 12$ e $12$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ per $x - 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$12$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x^{2} + 5 x$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	+	$12$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x + 12$

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	-	$12$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	-	$12$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - 5 x - 12$

Passaggio 1.6

Scrivi $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ come insieme di fattori.

$y = (x - 1) (2 x^{2} - 5 x - 12)$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ e la cui somma è $b = - 5$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 x$ .

$y = (x - 1) (2 x^{2} - 5 (x) - 12)$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $- 5$ come $3$ più $- 8$ .

$y = (x - 1) (2 x^{2} + (3 - 8) x - 12)$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = (x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 8 x - 12)$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y = (x - 1) ((2 x^{2} + 3 x) - 8 x - 12)$

Passaggio 2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y = (x - 1) (x (2 x + 3) - 4 (2 x + 3))$

Passaggio 2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 3$ .

$y = (x - 1) ((2 x + 3) (x - 4))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y = (x - 1) (2 x + 3) (x - 4)$